Encontre os autovalores e autovetores da matriz
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de álgebra linear! A tarefa é encontrar os autovalores e autovetores da matriz dada:
Para isso, vamos precisar entender o que são autovalores e autovetores, e como encontrá-los usando a equação característica.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os autovalores da matriz. Os autovalores são os valores de λ que satisfazem a equação característica:
Aqui, A é a matriz dada e I é a matriz identidade do mesmo tamanho.
Passo 3
Vamos montar a matriz
:
Passo 4
Agora, calculamos o determinante dessa matriz:
Para encontrar os autovalores, igualamos o determinante a zero:
Passo 5
Resolvendo a equação:
-
→ -
→
Então, os autovalores são
e
.
Passo 6
Agora, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor.
Para
:
Substituímos na equação
:
$$
\left[
\right]
\left[
\right]
\left[
\right]
$$
Simplificando:
$$
\left[
\right]
\left[
\right]
\left[
\right]
$$
Isso nos dá
. Então, um autovetor correspondente é
.
Para
:
Substituímos na equação
:
$$
\left[
\right]
\left[
\right]
\left[
\right]
$$
Simplificando:
$$
\left[
\right]
\left[
\right]
\left[
\right]
$$
Isso nos dá
. Então, um autovetor correspondente é
.
Resposta
Os autovalores da matriz são
e
. Os respectivos autovetores são:
- Para
: - Para
: