Encontre os autovalores e autovetores da matriz
[cc -2 & 0 0 & 8 ]

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de álgebra linear! A tarefa é encontrar os autovalores e autovetores da matriz dada:
[cc -2 & 0 0 & 8 ]
Para isso, vamos precisar entender o que são autovalores e autovetores, e como encontrá-los usando a equação característica.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os autovalores da matriz. Os autovalores são os valores de λ que satisfazem a equação característica:
det(A - lambda I) = 0
Aqui, A é a matriz dada e I é a matriz identidade do mesmo tamanho.

Passo 3

Vamos montar a matriz A - lambda I = [cc -2 - lambda & 0 0 & 8 - lambda ] :

Passo 4

Agora, calculamos o determinante dessa matriz:
det(A - lambda I) = (-2 - lambda)(8 - lambda) - (0 times 0) = (-2 - lambda)(8 - lambda)
Para encontrar os autovalores, igualamos o determinante a zero:
(-2 - lambda)(8 - lambda) = 0

Passo 5

Resolvendo a equação:
Então, os autovalores são e .

Passo 6

Agora, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor.
Para [cc -2 - (-2) & 0 0 & 8 - (-2) ] [c x y ] = [c 0 0 ] :
Substituímos na equação [cc 0 & 0 0 & 10 ] [c x y ] = [c 0 0 ] :

$$
\left[ c1 0\right]
\left[ [cc -2 - 8 & 0 0 & 8 - 8 ] [c x y ] = [c 0 0 ] \right]

\left[ [cc -10 & 0 0 & 0 ] [c x y ] = [c 0 0 ] \right]
$$
Simplificando:

$$
\left[ c0 1\right]
\left[ \right]

\left[ \right]
$$
Isso nos dá . Então, um autovetor correspondente é .
Para :
Substituímos na equação :

$$
\left[ \right]
\left[ \right]

\left[ \right]
$$
Simplificando:

$$
\left[ \right]
\left[ \right]

\left[ \right]
$$
Isso nos dá . Então, um autovetor correspondente é .

Resposta

Os autovalores da matriz são c1 0 e c0 1. Os respectivos autovetores são:
  • Para :
  • Para :

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