Considere o circuito elétrico abaixo com Resistencia (em Ohms), capacitor com Capacitância (em Farads), indutor com Indutancia (em hernys), e uma força eletromotriz (em volts, em geral uma bateria ou gerador). Todos conectados em série. A corrente do sistema é medida em amperes e a carga do capacitor é medida em coulombs.
Sabemos que a voltagem medida entre o resistor, o capacitor e indutor é dada por , e , de modo que a Lei de Kirchhoff nos dá à seguinte equação
Lembrando que , obtemos uma equação diferencial ordinária linear de segunda ordem com coeficientes constantes.
Suponha que e
Encontre a solução do PVI , .
Circuito RLC

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta um circuito RLC em série, onde temos uma resistência ( ), um capacitor ( ), um indutor ( ) e uma fonte de tensão . A nossa missão é encontrar a carga no capacitor ao longo do tempo, dado que no início ( ) a carga é zero ( ) e a corrente inicial é de 1 ampère ( ). Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de circuitos elétricos e equações diferenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a equação que descreve o circuito. Pela Lei de Kirchhoff das Tensões, somamos as quedas de tensão no resistor, capacitor e indutor, que devem igualar a tensão da fonte . Isso nos dá a equação:
Sabendo que a corrente é a derivada da carga em relação ao tempo, ou seja, , podemos substituir na equação para obter uma equação diferencial de segunda ordem:

Passo 3

Vamos substituir os valores numéricos fornecidos no enunciado:
Substituindo na equação diferencial:
Simplificando:

Passo 4

Agora, vamos resolver essa equação diferencial. Ela é do tipo não homogênea linear com coeficientes constantes, então a solução geral será a soma da solução da equação homogênea ( ) e de uma solução particular ( ):

Passo 5

Primeiro, vamos resolver a parte homogênea:
A equação característica associada é:
Resolvendo essa equação quadrática:
Como temos uma raiz negativa dentro da raiz quadrada, as soluções serão complexas:

Passo 6

Com as raízes complexas, a solução homogênea é:
Aqui, e são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.

Passo 7

Agora, vamos encontrar a solução particular . Como o lado direito da equação é , vamos assumir que a solução particular tem a forma:
Onde , , e são constantes a serem determinadas.

Passo 8

Vamos derivar para substituir na equação diferencial:
Primeira derivada:
Segunda derivada:

Passo 9

Substituindo e suas derivadas na equação diferencial:
Simplificando:

Passo 10

Agrupando os termos semelhantes:
Isso nos dá o seguinte sistema de equações:
  1. Coeficiente de :
  1. Termo constante:
  1. Coeficiente de :
  1. Coeficiente de :

Passo 11

Vamos resolver o sistema das equações 3 e 4:
Da equação 4:
Substituindo na equação 3:
Então:

Passo 12

Agora, temos todas as constantes da solução particular:

Passo 13

A solução geral é a soma da solução homogênea e da solução particular:

Passo 14

Agora, aplicamos as condições iniciais para encontrar e .
Primeira condição: .
Substituindo na solução:
Simplifica para:
Segunda condição: .
Vamos derivar :
No :
Simplificando:

Passo 15

Agora que temos e , podemos escrever a solução completa:

Resposta

A solução do problema é:

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(V) A é uma EDO de pri- meira ordem, não linear e não autônoma. A solução geral de uma EDO separável é sempre dada implicitamente por funçōes da forma onde e são funções que dependem do problema dado e é uma constante arbitrária.
(V) Uma EDO linear de primeira ordem sempre tem solução da forma onde é uma constante arbitrária e e são funções que dependem dos coeficientes da EDO.
(M) Seja a solução para um P.V.I. de uma EDO autônoma. Entāo os pontos onde a derivada se anulam são chamados de pontos críticos e correspondem a soluçōes constantantes da EDO.
(A) A solução geral da é
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onde é uma constante arbitrária e é uma primitiva da funçāo .
(F) A EDO é uma EDO separável.
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