Considere o circuito elétrico abaixo com Resistencia (em Ohms), capacitor com Capacitância (em Farads), indutor com Indutancia (em hernys), e uma força eletromotriz (em volts, em geral uma bateria ou gerador). Todos conectados em série. A corrente do sistema é medida em amperes e a carga do capacitor é medida em coulombs.
Sabemos que a voltagem medida entre o resistor, o capacitor e indutor é dada por , e , de modo que a Lei de Kirchhoff nos dá à seguinte equação
Lembrando que , obtemos uma equação diferencial ordinária linear de segunda ordem com coeficientes constantes.
Suponha que e
Encontre a solução do PVI , .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta um circuito RLC em série, onde temos uma resistência (), um capacitor (), um indutor () e uma fonte de tensão . A nossa missão é encontrar a carga no capacitor ao longo do tempo, dado que no início () a carga é zero () e a corrente inicial é de 1 ampère (). Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de circuitos elétricos e equações diferenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a equação que descreve o circuito. Pela Lei de Kirchhoff das Tensões, somamos as quedas de tensão no resistor, capacitor e indutor, que devem igualar a tensão da fonte . Isso nos dá a equação:
Sabendo que a corrente é a derivada da carga em relação ao tempo, ou seja, , podemos substituir na equação para obter uma equação diferencial de segunda ordem:
Passo 3
Vamos substituir os valores numéricos fornecidos no enunciado:
Substituindo na equação diferencial:
Simplificando:
Passo 4
Agora, vamos resolver essa equação diferencial. Ela é do tipo não homogênea linear com coeficientes constantes, então a solução geral será a soma da solução da equação homogênea () e de uma solução particular ():
Passo 5
Primeiro, vamos resolver a parte homogênea:
A equação característica associada é:
Resolvendo essa equação quadrática:
Como temos uma raiz negativa dentro da raiz quadrada, as soluções serão complexas:
Passo 6
Com as raízes complexas, a solução homogênea é:
Aqui, e são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.
Passo 7
Agora, vamos encontrar a solução particular . Como o lado direito da equação é , vamos assumir que a solução particular tem a forma:
Onde , , e são constantes a serem determinadas.
Passo 8
Vamos derivar para substituir na equação diferencial:
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Passo 9
Substituindo e suas derivadas na equação diferencial:
Simplificando:
Passo 10
Agrupando os termos semelhantes:
Isso nos dá o seguinte sistema de equações:
Coeficiente de :
Termo constante:
Coeficiente de :
Coeficiente de :
Passo 11
Vamos resolver o sistema das equações 3 e 4:
Da equação 4:
Substituindo na equação 3:
Então:
Passo 12
Agora, temos todas as constantes da solução particular:
Passo 13
A solução geral é a soma da solução homogênea e da solução particular:
Passo 14
Agora, aplicamos as condições iniciais para encontrar e .
Primeira condição: .
Substituindo na solução:
Simplifica para:
Segunda condição: .
Vamos derivar :
No :
Simplificando:
Passo 15
Agora que temos e , podemos escrever a solução completa: