Considere o circuito elétrico abaixo com Resistencia R (em Ohms), capacitor com Capacitância C (em Farads), indutor com Indutancia L (em hernys), e uma força eletromotriz E(t) (em volts, em geral uma bateria ou gerador). Todos conectados em série. A corrente I do sistema é medida em amperes e a carga Q do capacitor é medida em coulombs.
Sabemos que a voltagem medida entre o resistor, o capacitor e indutor é dada por R I, Q/C e L dI/dt, de modo que a Lei de Kirchhoff nos dá à seguinte equação
L dI/dt + R I + Q/C = E(t)
Lembrando que I = dQ/dt, obtemos uma equação diferencial ordinária linear de segunda ordem com coeficientes constantes.
Suponha que L=1 H, R=40 Ω, C= 16 * 10^(-4) F e E(t) = 3 - t + cos(2t)
Encontre a solução do PVI Q(0) = 0, I(0) = 1.
Circuito RLC

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta um circuito RLC em série, onde temos uma resistência ( R), um capacitor ( C), um indutor ( L) e uma fonte de tensão E(t). A nossa missão é encontrar a carga Q(t) no capacitor ao longo do tempo, dado que no início ( t = 0) a carga é zero ( ) e a corrente inicial é de 1 ampère ( ). Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de circuitos elétricos e equações diferenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a equação que descreve o circuito. Pela Lei de Kirchhoff das Tensões, somamos as quedas de tensão no resistor, capacitor e indutor, que devem igualar a tensão da fonte E(t). Isso nos dá a equação:
Sabendo que a corrente I é a derivada da carga em relação ao tempo, ou seja, , podemos substituir na equação para obter uma equação diferencial de segunda ordem:

Passo 3

Vamos substituir os valores numéricos fornecidos no enunciado:
Substituindo na equação diferencial:
Simplificando:

Passo 4

Agora, vamos resolver essa equação diferencial. Ela é do tipo não homogênea linear com coeficientes constantes, então a solução geral será a soma da solução da equação homogênea ( ) e de uma solução particular ( ):

Passo 5

Primeiro, vamos resolver a parte homogênea:
A equação característica associada é:
Resolvendo essa equação quadrática:
Como temos uma raiz negativa dentro da raiz quadrada, as soluções serão complexas:

Passo 6

Com as raízes complexas, a solução homogênea é:
Aqui, e são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.

Passo 7

Agora, vamos encontrar a solução particular . Como o lado direito da equação é , vamos assumir que a solução particular tem a forma:
Onde A, B, C e D são constantes a serem determinadas.

Passo 8

Vamos derivar para substituir na equação diferencial:
Primeira derivada:
Segunda derivada:

Passo 9

Substituindo e suas derivadas na equação diferencial:
Simplificando:

Passo 10

Agrupando os termos semelhantes:
Isso nos dá o seguinte sistema de equações:
  1. Coeficiente de t:
  1. Termo constante:
  1. Coeficiente de :
  1. Coeficiente de :

Passo 11

Vamos resolver o sistema das equações 3 e 4:
Da equação 4:
Substituindo D na equação 3:
Então:

Passo 12

Agora, temos todas as constantes da solução particular:

Passo 13

A solução geral é a soma da solução homogênea e da solução particular:

Passo 14

Agora, aplicamos as condições iniciais para encontrar e .
Primeira condição: .
Substituindo na solução:
Simplifica para:
Segunda condição: .
Vamos derivar Q(t):
No :
Simplificando:

Passo 15

Agora que temos e , podemos escrever a solução completa:

Resposta

A solução do problema é:

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