Indique verdadeiro ou falso. (Justifique as alternativas falsas)
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(V) A é uma EDO de pri- meira ordem, não linear e não autônoma. A solução geral de uma EDO separável é sempre dada implicitamente por funçōes da forma onde e são funções que dependem do problema dado e é uma constante arbitrária.
(V) Uma EDO linear de primeira ordem sempre tem solução da forma onde é uma constante arbitrária e e são funções que dependem dos coeficientes da EDO.
(M) Seja a solução para um P.V.I. de uma EDO autônoma. Entāo os pontos onde a derivada se anulam são chamados de pontos críticos e correspondem a soluçōes constantantes da EDO.
(A) A solução geral da é
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4ل onde é uma constante arbitrária e é uma primitiva da funçāo .
(F) A EDO é uma EDO separável.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. A questão nos apresenta várias afirmações sobre Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs) e pede para indicarmos se cada uma é verdadeira ou falsa. Se for falsa, precisamos justificar o motivo. Para resolver isso, vamos lembrar alguns conceitos básicos de EDOs, como o que é uma EDO de primeira ordem, linear, separável, autônoma, entre outros. Vamos analisar cada afirmação uma por uma.
Passo 2
Primeira afirmação:
(V) A é uma EDO de primeira ordem, não linear e não autônoma. A solução geral de uma EDO separável é sempre dada implicitamente por funções da forma onde e são funções que dependem do problema dado e é uma constante arbitrária.
Vamos analisar se essa afirmação é verdadeira.
Ordem da EDO: A equação envolve e , mas a ordem de uma EDO depende da maior derivada presente. Aqui, a maior derivada é a primeira ordem, então é uma EDO de primeira ordem. ✔️
Linearidade: Uma EDO é linear se pode ser escrita na forma . A presença de torna a equação não linear. ✔️
Autonomia: Uma EDO é autônoma se não depende explicitamente da variável independente (neste caso, ox). Como temos , que depende apenas de , a equação é autônoma. ❌ A afirmação diz que não é autônoma, o que está errado.
Solução de EDO separável: A forma geral para uma EDO separável é de fato .
Como a parte sobre a solução geral está correta, mas a equação é autônoma, a afirmação é falsa.
Passo 3
Segunda afirmação:
(V) Uma EDO linear de primeira ordem sempre tem solução da forma onde é uma constante arbitrária e e são funções que dependem dos coeficientes da EDO.
Vamos verificar:
Uma EDO linear de primeira ordem pode ser escrita como . A solução geral dessa equação é dada por:
Isso se parece com a forma apresentada na afirmação, onde e .
Portanto, a afirmaç��o está correta.
Passo 4
Terceira afirmação:
(M) Seja a solução para um P.V.I. de uma EDO autônoma. Então os pontos onde a derivada se anulam são chamados de pontos críticos e correspondem a soluções constantes da EDO.
Vamos entender:
Pontos críticos: São os pontos onde a derivada da solução se anula, ou seja, .
Solução constante: Se , então é constante.
Em uma EDO autônoma, as soluções constantes são precisamente aquelas onde a derivada se anula. Portanto, a afirmação está correta.
Passo 5
Quarta afirmação:
(A) A solução geral da é
onde é uma constante arbitrária e é uma primitiva da função .
Vamos analisar:
A equação dada é uma EDO linear simples onde . Para resolver, basta integrar ambos os lados:
Comparando com a expressão da afirmação, vemos que há um erro. A constante não deve multiplicar a integral, mas sim somar a ela. A forma correta é:
Portanto, a afirmação está falsa.
Passo 6
Quinta afirmação:
(F) A EDO é uma EDO separável.
Vamos verificar:
Uma EDO é separável se pode ser escrita na forma . No caso da equação , podemos considerar , então:
Isso permite separar as variáveis:
Portanto, a equação é separável.
A afirmação diz que não é separável, o que está errado.
Resposta
A primeira, a quarta e a quinta afirmações são falsas.