Indique verdadeiro ou falso. (Justifique as alternativas falsas)
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(V) A (y^prime)^2+2 y y^prime=4 cos (y) é uma EDO de pri- meira ordem, não linear e não autônoma. A solução geral de uma EDO separável é sempre dada implicitamente por funçōes da forma H(y)=G(x)+C onde H e G são funções que dependem do problema dado e C é uma constante arbitrária.
(V) Uma EDO linear de primeira ordem sempre tem solução da forma y(x)=C e^f1(x)+ f2(x) onde C é uma constante arbitrária e f1 e f2 são funções que dependem dos coeficientes da EDO.
(M) Seja f(t) a solução para um P.V.I. de uma EDO autônoma. Entāo os pontos onde a derivada f^prime(t) se anulam são chamados de pontos críticos e correspondem a soluçōes constantantes da EDO.
(A) A solução geral da EDO y^prime=g(x) é
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y=C cdot(integral g(t) d t)
a^+onde C é uma constante arbitrária e integral g(t) d t é uma primitiva da funçāo g.
(F) A EDO y^prime=F(y) é uma EDO separável.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. A questão nos apresenta várias afirmações sobre Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs) e pede para indicarmos se cada uma é verdadeira ou falsa. Se for falsa, precisamos justificar o motivo. Para resolver isso, vamos lembrar alguns conceitos básicos de EDOs, como o que é uma EDO de primeira ordem, linear, separável, autônoma, entre outros. Vamos analisar cada afirmação uma por uma.

Passo 2

Primeira afirmação:
(V) A (y^prime)^2+2 y y^prime=4 cos (y) é uma EDO de primeira ordem, não linear e não autônoma. A solução geral de uma EDO separável é sempre dada implicitamente por funções da forma H(y)=G(x)+C onde H e G são funções que dependem do problema dado e C é uma constante arbitrária.
Vamos analisar se essa afirmação é verdadeira.
  1. Ordem da EDO: A equação envolve y' e (y')^2, mas a ordem de uma EDO depende da maior derivada presente. Aqui, a maior derivada é a primeira ordem, então é uma EDO de primeira ordem. ✔️
  2. Linearidade: Uma EDO é linear se pode ser escrita na forma y' + P(x)y = Q(x). A presença de (y')^2 torna a equação não linear. ✔️
  3. Autonomia: Uma EDO é autônoma se não depende explicitamente da variável independente (neste caso, ox). Como temos cos(y), que depende apenas de y, a equação é autônoma. ❌ A afirmação diz que não é autônoma, o que está errado.
  4. Solução de EDO separável: A forma geral para uma EDO separável é de fato H(y) = G(x) + C.
Como a parte sobre a solução geral está correta, mas a equação é autônoma, a afirmação é falsa.

Passo 3

Segunda afirmação:
(V) Uma EDO linear de primeira ordem sempre tem solução da forma y(x)=C e^f1(x) + f2(x) onde C é uma constante arbitrária e f1 e f2 são funções que dependem dos coeficientes da EDO.
Vamos verificar:
Uma EDO linear de primeira ordem pode ser escrita como y' + P(x)y = Q(x). A solução geral dessa equação é dada por:
y(x) = e^-integral P(x)dx ( integral Q(x) e^integral P(x)dx dx + C )
Isso se parece com a forma apresentada na afirmação, onde f1(x) = -integral P(x)dx e f2(x) = e^-integral P(x)dx integral Q(x) e^integral P(x)dx dx.
Portanto, a afirmaç��o está correta.

Passo 4

Terceira afirmação:
(M) Seja f(t) a solução para um P.V.I. de uma EDO autônoma. Então os pontos onde a derivada f^prime(t) se anulam são chamados de pontos críticos e correspondem a soluções constantes da EDO.
Vamos entender:
  • Pontos críticos: São os pontos onde a derivada da solução se anula, ou seja, f'(t) = 0.
  • Solução constante: Se f'(t) = 0, então f(t) é constante.
Em uma EDO autônoma, as soluções constantes são precisamente aquelas onde a derivada se anula. Portanto, a afirmação está correta.

Passo 5

Quarta afirmação:
(A) A solução geral da EDO y^prime=g(x) é
y = C cdot (integral g(t) dt)
onde C é uma constante arbitrária e integral g(t) dt é uma primitiva da função g.
Vamos analisar:
A equação dada é uma EDO linear simples onde y' = g(x). Para resolver, basta integrar ambos os lados:
y = integral g(x) dx + C
Comparando com a expressão da afirmação, vemos que há um erro. A constante C não deve multiplicar a integral, mas sim somar a ela. A forma correta é:
y = C + integral g(x) dx
Portanto, a afirmação está falsa.

Passo 6

Quinta afirmação:
(F) A EDO y^prime=F(y) é uma EDO separável.
Vamos verificar:
Uma EDO é separável se pode ser escrita na forma y' = f(y)g(x). No caso da equação y' = F(y), podemos considerar g(x) = 1, então:
dydx = F(y) cdot 1
Isso permite separar as variáveis:
1F(y) dy = dx
Portanto, a equação é separável.
A afirmação diz que não é separável, o que está errado.

Resposta

A primeira, a quarta e a quinta afirmações são falsas.

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