Considere o operador linear
Encontre uma solução particular para
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um operador linear
e precisamos achar uma solução particular para a equação
. Isso envolve conceitos de equações diferenciais lineares e o método de coeficientes a determinar.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa essa equação. Um operador linear como o
age sobre uma função
e combina suas derivadas. Nosso objetivo é encontrar uma função
que, quando aplicada no operador
, resulte em
.
Passo 3
Para resolver isso, usamos o método dos coeficientes a determinar. Esse método sugere que, para o lado direito
, nossa solução particular terá a forma de uma função exponencial multiplicada por um polinômio. Geralmente, tentamos
, onde
é uma constante que vamos achar.
Passo 4
Antes de assumir essa forma para
, precisamos verificar se
é solução da equação homogênea associada, ou seja,
. Para isso, encontramos as raízes da equação característica:
Resolvendo:
Isso significa que
e
são soluções da equação homogênea. Como
já é solução homogênea, precisamos multiplicar nossa solução particular por
para evitar redundância. Então, tentamos:
Passo 5
Agora, vamos derivar
:
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Passo 6
Substituímos
,
e
na equação
:
Substituindo:
Simplificando:
Passo 7
Agora, igualamos os coeficientes:
Então, a constante
é 1.
Resposta
A solução particular é
.