Considere o operador linear
L = d^2/dt^2 - 3 d/dt + 2
Encontre uma solução particular para L(y) = e^(2t)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um operador linear e precisamos achar uma solução particular para a equação . Isso envolve conceitos de equações diferenciais lineares e o método de coeficientes a determinar.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa essa equação. Um operador linear como o age sobre uma função e combina suas derivadas. Nosso objetivo é encontrar uma função que, quando aplicada no operador , resulte em .

Passo 3

Para resolver isso, usamos o método dos coeficientes a determinar. Esse método sugere que, para o lado direito , nossa solução particular terá a forma de uma função exponencial multiplicada por um polinômio. Geralmente, tentamos , onde é uma constante que vamos achar.

Passo 4

Antes de assumir essa forma para , precisamos verificar se é solução da equação homogênea associada, ou seja, . Para isso, encontramos as raízes da equação característica:
Resolvendo:
Isso significa que e são soluções da equação homogênea. Como já é solução homogênea, precisamos multiplicar nossa solução particular por para evitar redundância. Então, tentamos:

Passo 5

Agora, vamos derivar :
Primeira derivada:
Segunda derivada:

Passo 6

Substituímos , e na equação :
Substituindo:
Simplificando:

Passo 7

Agora, igualamos os coeficientes:
Então, a constante é 1.

Resposta

A solução particular é .

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