Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um operador linear e precisamos achar uma solução particular para a equação . Isso envolve conceitos de equações diferenciais lineares e o método de coeficientes a determinar.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa essa equação. Um operador linear como o age sobre uma função e combina suas derivadas. Nosso objetivo é encontrar uma função que, quando aplicada no operador , resulte em .
Passo 3
Para resolver isso, usamos o método dos coeficientes a determinar. Esse método sugere que, para o lado direito , nossa solução particular terá a forma de uma função exponencial multiplicada por um polinômio. Geralmente, tentamos , onde é uma constante que vamos achar.
Passo 4
Antes de assumir essa forma para , precisamos verificar se é solução da equação homogênea associada, ou seja, . Para isso, encontramos as raízes da equação característica:
Resolvendo:
Isso significa que e são soluções da equação homogênea. Como já é solução homogênea, precisamos multiplicar nossa solução particular por para evitar redundância. Então, tentamos: