Nos problemas a seguir, determine se a equação é separável, exata ou linear de primeira ordem (Dica: uma de cada), e resolva o PVI.
2y y' = x^2 y^2 - y^2 + x^2 - 1, y(6) = 0

Passo 1

Beleza, vamos por partes! Temos uma equação diferencial de primeira ordem:
com a condição inicial . Nosso objetivo é descobrir se essa equação é separável, exata ou linear, e depois resolver esse problema de valor inicial.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar identificar o tipo da equação. Uma equação pode ser:
  • Separable (separável): onde conseguimos separar as variáveis e em lados opostos da equação.
  • Exata: quando a equação pode ser escrita na forma e satisfaz a condição de exatidão.
  • Linear: quando pode ser expressa como .
Vamos verificar cada uma dessas possibilidades.

Passo 3

Verificando se é uma equação separável:
Vamos tentar reescrever a equação para separar e :
Dividindo ambos os lados por :
Percebi que ainda temos misturas de e que não permitem separar facilmente as variáveis. Então, provavelmente não é separável.

Passo 4

Verificando se é uma equação linear:
Uma equação linear de primeira ordem tem a forma:
Vamos tentar manipular nossa equação para essa forma:
Dividindo ambos os lados por :
Isso resulta em termos que não se encaixam na forma linear, já que temos . Portanto, não é linear.

Passo 5

Verificando se é uma equação exata:
Uma equação é exata se pode ser escrita na forma e satisfaz a condição de exatidão:
Vamos reescrever nossa equação:
Aqui, e .
Calculando as derivadas parciais:
Como , a equação não é exata.

Passo 6

Já que a equação não é separável, linear ou exata, precisamos tentar outra abordagem. Vamos observar se conseguimos fatorar ou simplificar a equação de alguma forma. Podemos reescrever a equação original:
Organizando os termos:
Fatorando :
Agora, podemos separar as variáveis:

Passo 7

Vamos integrar ambos os lados:
No lado esquerdo, usando substituição , temos :
Então:

Passo 8

Aplicando a condição inicial :

Passo 9

Substituindo na equação:
Elevando ambos os lados como potência de :
Finalmente, isolando :

Resposta

A solução do problema de valor inicial é:

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