Nos problemas a seguir, determine se a equação é separável, exata ou linear de primeira ordem (Dica: uma de cada), e resolva o PVI.
Passo 1
Beleza, vamos por partes! Temos uma equação diferencial de primeira ordem:
com a condição inicial
. Nosso objetivo é descobrir se essa equação é separável, exata ou linear, e depois resolver esse problema de valor inicial.
Passo 2
Primeiro, vamos tentar identificar o tipo da equação. Uma equação pode ser:
- Separable (separável): onde conseguimos separar as variáveis
e em lados opostos da equação. - Exata: quando a equação pode ser escrita na forma
e satisfaz a condição de exatidão. - Linear: quando pode ser expressa como
.
Vamos verificar cada uma dessas possibilidades.
Passo 3
Verificando se é uma equação separável:
Vamos tentar reescrever a equação para separar
e
:
Dividindo ambos os lados por
:
Percebi que ainda temos misturas de
e
que não permitem separar facilmente as variáveis. Então, provavelmente não é separável.
Passo 4
Verificando se é uma equação linear:
Uma equação linear de primeira ordem tem a forma:
Vamos tentar manipular nossa equação para essa forma:
Dividindo ambos os lados por
:
Isso resulta em termos que não se encaixam na forma linear, já que temos
. Portanto, não é linear.
Passo 5
Verificando se é uma equação exata:
Uma equação é exata se pode ser escrita na forma
e satisfaz a condição de exatidão:
Vamos reescrever nossa equação:
Aqui,
e
.
Calculando as derivadas parciais:
Como
, a equação não é exata.
Passo 6
Já que a equação não é separável, linear ou exata, precisamos tentar outra abordagem. Vamos observar se conseguimos fatorar ou simplificar a equação de alguma forma. Podemos reescrever a equação original:
Organizando os termos:
Fatorando
:
Agora, podemos separar as variáveis:
Passo 7
Vamos integrar ambos os lados:
No lado esquerdo, usando substituição
, temos
:
Então:
Passo 8
Aplicando a condição inicial
:
Passo 9
Substituindo
na equação:
Elevando ambos os lados como potência de
:
Finalmente, isolando
:
Resposta
A solução do problema de valor inicial é: