Nos problemas a seguir, determine se a equação é separável, exata ou linear de primeira ordem (Dica: uma de cada), e resolva o PVI.
Passo 1
Beleza, vamos por partes! Temos uma equação diferencial de primeira ordem:
com a condição inicial
. Nosso objetivo é descobrir se essa equação é separável, exata ou linear, e depois resolver esse problema de valor inicial.
Passo 2
Primeiro, vamos tentar identificar o tipo da equação. Uma equação pode ser:
- Separable (separável): onde conseguimos separar as variáveis
e em lados opostos da equação. - Exata: quando a equação pode ser escrita na forma
e satisfaz a condição de exatidão. - Linear: quando pode ser expressa como
.
Vamos verificar cada uma dessas possibilidades.
Passo 3
Verificando se é uma equação separável:
Vamos tentar reescrever a equação para separar
e
:
Dividindo ambos os lados por
:
Percebi que ainda temos misturas de
e
que não permitem separar facilmente as variáveis. Então, provavelmente não é separável.
Passo 4
Verificando se é uma equação linear:
Uma equação linear de primeira ordem tem a forma:
Vamos tentar manipular nossa equação para essa forma:
Dividindo ambos os lados por
:
Isso resulta em termos que não se encaixam na forma linear, já que temos
. Portanto, não é linear.
Passo 5
Verificando se é uma equação exata:
Uma equação é exata se pode ser escrita na forma
e satisfaz a condição de exatidão:
Vamos reescrever nossa equação:
Aqui,
e
.
Calculando as derivadas parciais:
Como
, a equação não é exata.
Passo 6
Já que a equação não é separável, linear ou exata, precisamos tentar outra abordagem. Vamos observar se conseguimos fatorar ou simplificar a equação de alguma forma. Podemos reescrever a equação original:
Organizando os termos:
Fatorando
:
Agora, podemos separar as variáveis:
Passo 7
Vamos integrar ambos os lados:
No lado esquerdo, usando substituição
, temos
:
Então:
Passo 8
Aplicando a condição inicial
:
Passo 9
Substituindo
na equação:
Elevando ambos os lados como potência de
:
Finalmente, isolando
:
Resposta
A solução do problema de valor inicial é:
Exercícios relacionados
Indique verdadeiro ou falso. (Justifique as alternativas falsas)
bustrglatu( )
(V) A é uma EDO de pri- meira ordem, não linear e não autônoma. A solução geral de uma EDO separável é sempre dada implicitamente por funçōes da forma
onde
e
são funções que dependem do problema dado e
é uma constante arbitrária.
(V) Uma EDO linear de primeira ordem sempre tem solução da forma
onde
é uma constante arbitrária e
e
são funções que dependem dos coeficientes da EDO.
(M) Seja a solução para um P.V.I. de uma EDO autônoma. Entāo os pontos onde a derivada
se anulam são chamados de pontos críticos e correspondem a soluçōes constantantes da EDO.
(A) A solução geral da é
8
bustrglatu(
(V) A
(V) Uma EDO linear de primeira ordem sempre tem solução da forma
(M) Seja
(A) A solução geral da
8
4ل
onde
é uma constante arbitrária e
é uma primitiva da funçāo
.
(F) A EDO é uma EDO separável.
(F) A EDO
Considere o circuito elétrico abaixo com Resistencia
(em Ohms), capacitor com Capacitância
(em Farads), indutor com Indutancia
(em hernys), e uma força eletromotriz
(em volts, em geral uma bateria ou gerador). Todos conectados em série. A corrente
do sistema é medida em amperes e a carga
do capacitor é medida em coulombs.
Sabemos que a voltagem medida entre o resistor, o capacitor e indutor é dada por ,
e
, de modo que a Lei de Kirchhoff nos dá à seguinte equação
Sabemos que a voltagem medida entre o resistor, o capacitor e indutor é dada por
Lembrando que
, obtemos uma equação diferencial ordinária linear de segunda ordem com coeficientes constantes.
Suponha que
e
Encontre a solução do PVI ,
.
Suponha que
Encontre a solução do PVI
Nos problemas a seguir, determine se a equação é separável, exata ou linear de primeira ordem (Dica: uma de cada), e resolva o PVI.
Nos problemas a seguir, determine se a equação é separável, exata ou linear de primeira ordem (Dica: uma de cada), e resolva o PVI.