Nos problemas a seguir, determine se a equação é separável, exata ou linear de primeira ordem (Dica: uma de cada), e resolva o PVI.

Passo 1

Beleza, vamos por partes! Temos uma equação diferencial de primeira ordem:
com a condição inicial . Nosso objetivo é descobrir se essa equação é separável, exata ou linear, e depois resolver esse problema de valor inicial.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar identificar o tipo da equação. Uma equação pode ser:
  • Separable (separável): onde conseguimos separar as variáveis e em lados opostos da equação.
  • Exata: quando a equação pode ser escrita na forma e satisfaz a condição de exatidão.
  • Linear: quando pode ser expressa como .
Vamos verificar cada uma dessas possibilidades.

Passo 3

Verificando se é uma equação separável:
Vamos tentar reescrever a equação para separar e :
Dividindo ambos os lados por :
Percebi que ainda temos misturas de e que não permitem separar facilmente as variáveis. Então, provavelmente não é separável.

Passo 4

Verificando se é uma equação linear:
Uma equação linear de primeira ordem tem a forma:
Vamos tentar manipular nossa equação para essa forma:
Dividindo ambos os lados por :
Isso resulta em termos que não se encaixam na forma linear, já que temos . Portanto, não é linear.

Passo 5

Verificando se é uma equação exata:
Uma equação é exata se pode ser escrita na forma e satisfaz a condição de exatidão:
Vamos reescrever nossa equação:
Aqui, e .
Calculando as derivadas parciais:
Como , a equação não é exata.

Passo 6

Já que a equação não é separável, linear ou exata, precisamos tentar outra abordagem. Vamos observar se conseguimos fatorar ou simplificar a equação de alguma forma. Podemos reescrever a equação original:
Organizando os termos:
Fatorando :
Agora, podemos separar as variáveis:

Passo 7

Vamos integrar ambos os lados:
No lado esquerdo, usando substituição , temos :
Então:

Passo 8

Aplicando a condição inicial :

Passo 9

Substituindo na equação:
Elevando ambos os lados como potência de :
Finalmente, isolando :

Resposta

A solução do problema de valor inicial é:

Exercícios relacionados

Indique verdadeiro ou falso. (Justifique as alternativas falsas)
bustrglatu( )
(V) A é uma EDO de pri- meira ordem, não linear e não autônoma. A solução geral de uma EDO separável é sempre dada implicitamente por funçōes da forma onde e são funções que dependem do problema dado e é uma constante arbitrária.
(V) Uma EDO linear de primeira ordem sempre tem solução da forma onde é uma constante arbitrária e e são funções que dependem dos coeficientes da EDO.
(M) Seja a solução para um P.V.I. de uma EDO autônoma. Entāo os pontos onde a derivada se anulam são chamados de pontos críticos e correspondem a soluçōes constantantes da EDO.
(A) A solução geral da é
8
onde é uma constante arbitrária e é uma primitiva da funçāo .
(F) A EDO é uma EDO separável.
Considere o circuito elétrico abaixo com Resistencia (em Ohms), capacitor com Capacitância (em Farads), indutor com Indutancia (em hernys), e uma força eletromotriz (em volts, em geral uma bateria ou gerador). Todos conectados em série. A corrente do sistema é medida em amperes e a carga do capacitor é medida em coulombs.
Sabemos que a voltagem medida entre o resistor, o capacitor e indutor é dada por , e , de modo que a Lei de Kirchhoff nos dá à seguinte equação
Lembrando que , obtemos uma equação diferencial ordinária linear de segunda ordem com coeficientes constantes.
Suponha que e
Encontre a solução do PVI , .
Circuito RLC
Nos problemas a seguir, determine se a equação é separável, exata ou linear de primeira ordem (Dica: uma de cada), e resolva o PVI.
Nos problemas a seguir, determine se a equação é separável, exata ou linear de primeira ordem (Dica: uma de cada), e resolva o PVI.