Considere o operador linear
L = d^2/dt^2 - 3 d/dt + 2
Resolva o PVI L(y) = e^(2 t), y(0) = 1 e y'(0) = -2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de equações diferenciais. A gente tem um operador linear aplicado à função , e queremos resolver a equação com as condições iniciais e . Para isso, vamos precisar usar métodos de resolução de equações diferenciais lineares de segunda ordem e aplicar as condições iniciais para encontrar as constantes da solução.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, ou seja, . A equação homogênea fica:
Para resolver essa equação, assumimos uma solução da forma . Substituindo na equação, temos:
Como nunca é zero, resolvemos a equação característica:
Fatorando:
Então, a solução geral da equação homogênea é:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar uma solução particular para a equação completa . Observando o lado direito da equação, vemos que a função não homogênea é .
Normalmente, tentamos uma solução particular da forma . Porém, como já é parte da solução homogênea , precisamos multiplicar por para encontrar uma solução independente. Então, vamos tentar:
Agora, vamos calcular e :
Substituindo , e na equação original:
Simplificando:
Portanto:
Então, a solução particular é:

Passo 4

Agora, juntamos a solução homogênea com a solução particular para obter a solução geral da equação diferencial:
A próxima etapa é aplicar as condições iniciais para encontrar os valores de e .

Passo 5

Aplicando a condição inicial :
Então, temos:
çã

Passo 6

Agora, vamos calcular a derivada de para aplicar a segunda condição inicial :
Aplicando :
Então, temos:
çã

Passo 7

Agora, resolvemos o sistema de equações formado pela Equação 1 e Equação 2:
Subtraindo a Equação 1 da Equação 2:
Substituindo na Equação 1:

Resposta

A solução da equação diferencial é:

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