Considere o operador linear
Resolva o PVI
e
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de equações diferenciais. A gente tem um operador linear
aplicado à função
, e queremos resolver a equação
com as condições iniciais
e
. Para isso, vamos precisar usar métodos de resolução de equações diferenciais lineares de segunda ordem e aplicar as condições iniciais para encontrar as constantes da solução.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, ou seja,
. A equação homogênea fica:
Para resolver essa equação, assumimos uma solução da forma
. Substituindo na equação, temos:
Como
nunca é zero, resolvemos a equação característica:
Fatorando:
Então, a solução geral da equação homogênea é:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar uma solução particular
para a equação completa
. Observando o lado direito da equação, vemos que a função não homogênea é
.
Normalmente, tentamos uma solução particular da forma
. Porém, como
já é parte da solução homogênea
, precisamos multiplicar por
para encontrar uma solução independente. Então, vamos tentar:
Agora, vamos calcular
e
:
Substituindo
,
e
na equação original:
Simplificando:
Portanto:
Então, a solução particular é:
Passo 4
Agora, juntamos a solução homogênea com a solução particular para obter a solução geral da equação diferencial:
A próxima etapa é aplicar as condições iniciais para encontrar os valores de
e
.
Passo 5
Aplicando a condição inicial
:
Então, temos:
Passo 6
Agora, vamos calcular a derivada de
para aplicar a segunda condição inicial
:
Aplicando
:
Então, temos:
Passo 7
Agora, resolvemos o sistema de equações formado pela Equação 1 e Equação 2:
Subtraindo a Equação 1 da Equação 2:
Substituindo
na Equação 1:
Resposta
A solução da equação diferencial é: