Considere o operador linear
Resolva o PVI e

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de equações diferenciais. A gente tem um operador linear aplicado à função , e queremos resolver a equação com as condições iniciais e . Para isso, vamos precisar usar métodos de resolução de equações diferenciais lineares de segunda ordem e aplicar as condições iniciais para encontrar as constantes da solução.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, ou seja, . A equação homogênea fica:
Para resolver essa equação, assumimos uma solução da forma . Substituindo na equação, temos:
Como nunca é zero, resolvemos a equação característica:
Fatorando:
Então, a solução geral da equação homogênea é:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar uma solução particular para a equação completa . Observando o lado direito da equação, vemos que a função não homogênea é .
Normalmente, tentamos uma solução particular da forma . Porém, como já é parte da solução homogênea , precisamos multiplicar por para encontrar uma solução independente. Então, vamos tentar:
Agora, vamos calcular e :
Substituindo , e na equação original:
Simplificando:
Portanto:
Então, a solução particular é:

Passo 4

Agora, juntamos a solução homogênea com a solução particular para obter a solução geral da equação diferencial:
A próxima etapa é aplicar as condições iniciais para encontrar os valores de e .

Passo 5

Aplicando a condição inicial :
Então, temos:
çã

Passo 6

Agora, vamos calcular a derivada de para aplicar a segunda condição inicial :
Aplicando :
Então, temos:
çã

Passo 7

Agora, resolvemos o sistema de equações formado pela Equação 1 e Equação 2:
Subtraindo a Equação 1 da Equação 2:
Substituindo na Equação 1:

Resposta

A solução da equação diferencial é:

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Encontre uma solução particular para
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Encontre a solução geral de
Considere o circuito elétrico abaixo com Resistencia (em Ohms), capacitor com Capacitância (em Farads), indutor com Indutancia (em hernys), e uma força eletromotriz (em volts, em geral uma bateria ou gerador). Todos conectados em série. A corrente do sistema é medida em amperes e a carga do capacitor é medida em coulombs.
Sabemos que a voltagem medida entre o resistor, o capacitor e indutor é dada por , e , de modo que a Lei de Kirchhoff nos dá à seguinte equação
Lembrando que , obtemos uma equação diferencial ordinária linear de segunda ordem com coeficientes constantes.
Suponha que e
Encontre a solução do PVI , .
Circuito RLC
Indique verdadeiro ou falso. (Justifique as alternativas falsas)
bustrglatu( )
(V) A é uma EDO de pri- meira ordem, não linear e não autônoma. A solução geral de uma EDO separável é sempre dada implicitamente por funçōes da forma onde e são funções que dependem do problema dado e é uma constante arbitrária.
(V) Uma EDO linear de primeira ordem sempre tem solução da forma onde é uma constante arbitrária e e são funções que dependem dos coeficientes da EDO.
(M) Seja a solução para um P.V.I. de uma EDO autônoma. Entāo os pontos onde a derivada se anulam são chamados de pontos críticos e correspondem a soluçōes constantantes da EDO.
(A) A solução geral da é
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onde é uma constante arbitrária e é uma primitiva da funçāo .
(F) A EDO é uma EDO separável.