Considere-se um circuito elétrico constituído por uma força eletromotriz que produz uma queda de tensão E(t), uma resistência R, uma bobine com indutância L e um condensador com capacitância C, ligados em série (circuito RLC). Nessas condições a carga instantânea no condensador q(t) é tal que
L d^2q/dt^2 + R dq/dt + 1/C q = E(t)
sendo a intensidade de correte i, cada instante de t, dada por i(t) = d q / d t.
Supondo que E(t) = 0 (Volt), R = 2 (Ohm), L=0,05 (Henry) e C = 1/100 (Farad), e sabendo que no instante inicial a intensidade de corrente é nula e a carga do condensador é igual a 5 (Coulomb) :
determinar a intensidade de corrente em cada instante t.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um circuito RLC onde temos uma resistência , uma indutância e uma capacitância ligadas em série. A equação que descreve a carga no condensador é:
Aqui, (sem força eletromotriz aplicada). Os valores são , e . Além disso, sabemos que inicialmente a corrente A e a carga C. Nosso objetivo é encontrar a intensidade da corrente em cada instante .

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a equação diferencial com os valores que temos. Substituindo , , e na equação:

Passo 3

Essa é uma equação diferencial homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos assumir uma solução da forma . Substituindo na equação:
Dividindo todos os termos por (que nunca é zero):

Passo 4

Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar . A fórmula de Bhaskara é:
Aqui, , e . Substituindo:

Passo 5

Como a raiz quadrada deu um número imaginário, isso indica que a solução será oscilatória. A raiz quadrada de é , então:

Passo 6

Com as raízes , a solução geral para é:
Aqui, e são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.

Passo 7

Vamos aplicar as condições iniciais. Sabemos que:
  1. C
  2. A
Primeiro, calculemos :
Então, .

Passo 8

Agora, vamos encontrar usando a segunda condição. Primeiro, derivamos :
Simplificando:
No instante :
Então:

Passo 9

Agora que temos e , a expressão para fica:

Passo 10

Queremos encontrar . Já derivamos anteriormente, mas agora com os valores de e :
Simplificando:
Então:

Resposta

A intensidade da corrente em cada instante é:

Exercícios relacionados

Resolvas as seguintes equações por separação de variáveis:
(c) (1+x^2) y' - x y = 0
Dada a seguinte Equação Diferencial, responda os itens citados abaixo:
(e^(3y) - y) cos(2x) dy/dx = e^y sen(2x)
$(a) Classifique a equação diferencial em relação ao tipo, ordem e linearidade;
integral e^-theta cos (2 theta), d theta
Verifique se a solução particular proposta é solução da EDO e verifica as condições iniciais (ou de contorno) correspondentes:
y' + 2 x y^2 = 0 Condição inicial: y(0) = 1, x ∈ ]-1, 1[
Solução proposta: y = 1 / (x^2 - 1)