Considere-se um circuito elétrico constituído por uma força eletromotriz que produz uma queda de tensão
, uma resistência
, uma bobine com indutância
e um condensador com capacitância
, ligados em série (circuito RLC). Nessas condições a carga instantânea no condensador
é tal que
sendo a intensidade de correte
, cada instante de
, dada por
.
Supondo que
(Volt),
(Ohm),
(Henry) e
(Farad), e sabendo que no instante inicial a intensidade de corrente é nula e a carga do condensador é igual a 5 (Coulomb) :
determinar a intensidade de corrente em cada instante
.
Supondo que
determinar a intensidade de corrente em cada instante
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um circuito RLC onde temos uma resistência
, uma indutância
e uma capacitância
ligadas em série. A equação que descreve a carga no condensador é:
Aqui,
(sem força eletromotriz aplicada). Os valores são
,
e
. Além disso, sabemos que inicialmente a corrente
A e a carga
C. Nosso objetivo é encontrar a intensidade da corrente
em cada instante
.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a equação diferencial com os valores que temos. Substituindo
,
,
e
na equação:
Passo 3
Essa é uma equação diferencial homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos assumir uma solução da forma
. Substituindo na equação:
Dividindo todos os termos por
(que nunca é zero):
Passo 4
Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar
. A fórmula de Bhaskara é:
Aqui,
,
e
. Substituindo:
Passo 5
Como a raiz quadrada deu um número imaginário, isso indica que a solução será oscilatória. A raiz quadrada de
é
, então:
Passo 6
Com as raízes
, a solução geral para
é:
Aqui,
e
são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.
Passo 7
Vamos aplicar as condições iniciais. Sabemos que:
-
C -
A
Primeiro, calculemos
:
Então,
.
Passo 8
Agora, vamos encontrar
usando a segunda condição. Primeiro, derivamos
:
Simplificando:
No instante
:
Então:
Passo 9
Agora que temos
e
, a expressão para
fica:
Passo 10
Queremos encontrar
. Já derivamos anteriormente, mas agora com os valores de
e
:
Simplificando:
Então:
Resposta
A intensidade da corrente em cada instante
é:
Exercícios relacionados
Resolvas as seguintes equações por separação de variáveis:
Dada a seguinte Equação Diferencial, responda os itens citados abaixo:
$(a) Classifique a equação diferencial em relação ao tipo, ordem e linearidade;
Verifique se a solução particular proposta é solução da EDO e verifica as condições iniciais (ou de contorno) correspondentes:
Condição inicial:
Solução proposta:
Solução proposta: