Resolvas as seguintes equações por separação de variáveis:
(c) (1+x^2) y' - x y = 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial usando separação de variáveis. A equação que temos é:
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial de primeira ordem. Vamos precisar separar as variáveis e para integrar cada lado adequadamente.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para isolar :
Agora, dividimos ambos os lados por para obter:

Passo 3

Essa equação agora está na forma:
Podemos ver que é uma equação linear de primeira ordem e pode ser resolvida por separação de variáveis. Vamos reorganizar os termos para separar de :

Passo 4

Agora, integramos ambos os lados da equação:
A integral do lado esquerdo é (onde é a constante de integração), e a integral do lado direito requer uma substituição simples.

Passo 5

Para resolver a integral do lado direito, fazemos a substituição:
Substituindo na integral:

Passo 6

Agora, juntamos as soluções das integrais:
Para simplificar, podemos eliminar os logaritmos exponenciando ambos os lados:
Como é apenas uma constante, podemos renomeá-la como :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde é uma constante arbitrária.

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