Resolvas as seguintes equações por separação de variáveis:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial usando separação de variáveis. A equação que temos é:
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial de primeira ordem. Vamos precisar separar as variáveis
e
para integrar cada lado adequadamente.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para isolar
:
Agora, dividimos ambos os lados por
para obter:
Passo 3
Essa equação agora está na forma:
Podemos ver que é uma equação linear de primeira ordem e pode ser resolvida por separação de variáveis. Vamos reorganizar os termos para separar
de
:
Passo 4
Agora, integramos ambos os lados da equação:
A integral do lado esquerdo é
(onde
é a constante de integração), e a integral do lado direito requer uma substituição simples.
Passo 5
Para resolver a integral do lado direito, fazemos a substituição:
Substituindo na integral:
Passo 6
Agora, juntamos as soluções das integrais:
Para simplificar, podemos eliminar os logaritmos exponenciando ambos os lados:
Como
é apenas uma constante, podemos renomeá-la como
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
é uma constante arbitrária.
Exercícios relacionados
Dada a seguinte Equação Diferencial, responda os itens citados abaixo:
$(a) Classifique a equação diferencial em relação ao tipo, ordem e linearidade;
Classifique as equações abaixo quanto ao tipo, a ordem e a linearidade.
Considere-se um circuito elétrico constituído por uma força eletromotriz que produz uma queda de tensão
, uma resistência
, uma bobine com indutância
e um condensador com capacitância
, ligados em série (circuito RLC). Nessas condições a carga instantânea no condensador
é tal que
sendo a intensidade de correte
, cada instante de
, dada por
.
Supondo que (Volt),
(Ohm),
(Henry) e
(Farad), e sabendo que no instante inicial a intensidade de corrente é nula e a carga do condensador é igual a 5 (Coulomb) :
determinar a intensidade de corrente em cada instante .
Supondo que
determinar a intensidade de corrente em cada instante