Resolvas as seguintes equações por separação de variáveis:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial usando separação de variáveis. A equação que temos é:
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial de primeira ordem. Vamos precisar separar as variáveis
e
para integrar cada lado adequadamente.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para isolar
:
Agora, dividimos ambos os lados por
para obter:
Passo 3
Essa equação agora está na forma:
Podemos ver que é uma equação linear de primeira ordem e pode ser resolvida por separação de variáveis. Vamos reorganizar os termos para separar
de
:
Passo 4
Agora, integramos ambos os lados da equação:
A integral do lado esquerdo é
(onde
é a constante de integração), e a integral do lado direito requer uma substituição simples.
Passo 5
Para resolver a integral do lado direito, fazemos a substituição:
Substituindo na integral:
Passo 6
Agora, juntamos as soluções das integrais:
Para simplificar, podemos eliminar os logaritmos exponenciando ambos os lados:
Como
é apenas uma constante, podemos renomeá-la como
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
é uma constante arbitrária.