Resolvas as seguintes equações por separação de variáveis:
(c) (1+x^2) y' - x y = 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial usando separação de variáveis. A equação que temos é:
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial de primeira ordem. Vamos precisar separar as variáveis e para integrar cada lado adequadamente.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para isolar :
Agora, dividimos ambos os lados por para obter:

Passo 3

Essa equação agora está na forma:
Podemos ver que é uma equação linear de primeira ordem e pode ser resolvida por separação de variáveis. Vamos reorganizar os termos para separar de :

Passo 4

Agora, integramos ambos os lados da equação:
A integral do lado esquerdo é (onde é a constante de integração), e a integral do lado direito requer uma substituição simples.

Passo 5

Para resolver a integral do lado direito, fazemos a substituição:
Substituindo na integral:

Passo 6

Agora, juntamos as soluções das integrais:
Para simplificar, podemos eliminar os logaritmos exponenciando ambos os lados:
Como é apenas uma constante, podemos renomeá-la como :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde é uma constante arbitrária.

Exercícios relacionados

Dada a seguinte Equação Diferencial, responda os itens citados abaixo:
(e^(3y) - y) cos(2x) dy/dx = e^y sen(2x)
$(a) Classifique a equação diferencial em relação ao tipo, ordem e linearidade;
Classifique as equações abaixo quanto ao tipo, a ordem e a linearidade.
d x d^3y/dx^3 - 2(dy/dx)^3 + 2 = 0
Considere-se um circuito elétrico constituído por uma força eletromotriz que produz uma queda de tensão E(t), uma resistência R, uma bobine com indutância L e um condensador com capacitância C, ligados em série (circuito RLC). Nessas condições a carga instantânea no condensador q(t) é tal que
L d^2q/dt^2 + R dq/dt + 1/C q = E(t)
sendo a intensidade de correte i, cada instante de t, dada por i(t) = d q / d t.
Supondo que E(t) = 0 (Volt), R = 2 (Ohm), L=0,05 (Henry) e C = 1/100 (Farad), e sabendo que no instante inicial a intensidade de corrente é nula e a carga do condensador é igual a 5 (Coulomb) :
determinar a intensidade de corrente em cada instante t.
integral e^-theta cos (2 theta), d theta