Verifique se a solução particular proposta é solução da EDO e verifica as condições iniciais (ou de contorno) correspondentes:
y' + 2 x y^2 = 0 Condição inicial: y(0) = 1, x ∈ ]-1, 1[
Solução proposta: y = 1 / (x^2 - 1)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente verificar se uma solução proposta resolve uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) específica e se ela satisfaz a condição inicial dada. A EDO que temos é:
E a condição inicial é:
A solução proposta para essa EDO é:
Vamos precisar usar conhecimentos de cálculo, especialmente sobre derivadas e substituição em equações diferenciais, para verificar se essa solução realmente funciona.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a solução proposta satisfaz a EDO. Para isso, precisamos calcular a derivada de em relação a e substituir na equação.
A solução proposta é:
Vamos calcular a derivada de :
Usando a regra da derivada de uma função do tipo , onde , temos:
Calculando :
Então, a derivada de é:

Passo 3

Agora vamos substituir e na EDO original para ver se a equação se mantém verdadeira.
A EDO é:
Substituindo e :
Simplificando:
O que resulta em:
Isso confirma que a solução proposta satisfaz a EDO.

Passo 4

Agora vamos verificar se a solução proposta também atende à condição inicial .
Substituindo na solução:
Mas a condição inicial é , e obtivemos . Isso significa que a solução proposta não satisfaz a condição inicial.

Resposta

A solução proposta satisfaz a Equação Diferencial dada, mas não atende à condição inicial . Portanto, não é uma solução válida para o problema apresentado.

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integral e^-theta cos (2 theta), d theta
Considere-se um circuito elétrico constituído por uma força eletromotriz que produz uma queda de tensão E(t), uma resistência R, uma bobine com indutância L e um condensador com capacitância C, ligados em série (circuito RLC). Nessas condições a carga instantânea no condensador q(t) é tal que
L d^2q/dt^2 + R dq/dt + 1/C q = E(t)
sendo a intensidade de correte i, cada instante de t, dada por i(t) = d q / d t.
Supondo que E(t) = 0 (Volt), R = 2 (Ohm), L=0,05 (Henry) e C = 1/100 (Farad), e sabendo que no instante inicial a intensidade de corrente é nula e a carga do condensador é igual a 5 (Coulomb) :
determinar a intensidade de corrente em cada instante t.
Dada a seguinte Equação Diferencial, responda os itens citados abaixo:
(e^(3y) - y) cos(2x) dy/dx = e^y sen(2x)
$© A solução apresenta no item (b) é explícita ou implícita?
Resolvas as seguintes equações por separação de variáveis:
dy^2 - 1 - (2y + xy)y' = 0