Verifique se a solução particular proposta é solução da EDO e verifica as condições iniciais (ou de contorno) correspondentes:
Condição inicial:
Solução proposta:
Solução proposta:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente verificar se uma solução proposta resolve uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) específica e se ela satisfaz a condição inicial dada. A EDO que temos é:
E a condição inicial é:
A solução proposta para essa EDO é:
Vamos precisar usar conhecimentos de cálculo, especialmente sobre derivadas e substituição em equações diferenciais, para verificar se essa solução realmente funciona.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a solução proposta satisfaz a EDO. Para isso, precisamos calcular a derivada de
em relação a
e substituir na equação.
A solução proposta é:
Vamos calcular a derivada de
:
Usando a regra da derivada de uma função do tipo
, onde
, temos:
Calculando
:
Então, a derivada de
é:
Passo 3
Agora vamos substituir
e
na EDO original para ver se a equação se mantém verdadeira.
A EDO é:
Substituindo
e
:
Simplificando:
O que resulta em:
Isso confirma que a solução proposta satisfaz a EDO.
Passo 4
Agora vamos verificar se a solução proposta também atende à condição inicial
.
Substituindo
na solução:
Mas a condição inicial é
, e obtivemos
. Isso significa que a solução proposta não satisfaz a condição inicial.
Resposta
A solução proposta
satisfaz a Equação Diferencial dada, mas não atende à condição inicial
. Portanto, não é uma solução válida para o problema apresentado.
Exercícios relacionados
Considere-se um circuito elétrico constituído por uma força eletromotriz que produz uma queda de tensão
, uma resistência
, uma bobine com indutância
e um condensador com capacitância
, ligados em série (circuito RLC). Nessas condições a carga instantânea no condensador
é tal que
sendo a intensidade de correte
, cada instante de
, dada por
.
Supondo que (Volt),
(Ohm),
(Henry) e
(Farad), e sabendo que no instante inicial a intensidade de corrente é nula e a carga do condensador é igual a 5 (Coulomb) :
determinar a intensidade de corrente em cada instante .
Supondo que
determinar a intensidade de corrente em cada instante
Dada a seguinte Equação Diferencial, responda os itens citados abaixo:
$© A solução apresenta no item (b) é explícita ou implícita?
Resolvas as seguintes equações por separação de variáveis: