integral e^-theta cos (2 theta), d theta

Passo 1

Vamos resolver a integral . Aqui, estamos trabalhando com cálculo integral, especificamente com integrais que envolvem funções exponenciais e funções trigonométricas. Para resolver esse tipo de integral, vamos precisar usar o método de integração por partes ou identificar que a integral pode ser resolvida usando uma fórmula específica para a combinação de exponenciais e cossenos.

Passo 2

Primeiro, reconhecemos que a integral tem a forma integral e^atheta cos(btheta), dtheta = e^atheta(a cos(btheta) + b sin(btheta))a^2 + b^2 + C , onde e . Para resolver integrais desse tipo, podemos usar a seguinte fórmula:
Essa fórmula combina a função exponencial com uma função trigonométrica, facilitando a integração sem a necessidade de aplicar integração por partes repetidamente.

Passo 3

Aplicando a fórmula ao nosso caso, temos integral e^-theta cos(2theta), dtheta = e^-theta((-1) cos(2theta) + 2 sin(2theta))(-1)^2 + (2)^2 + C e . Substituindo esses valores na fórmula, obtemos:

Passo 4

Simplificando o denominador:
(-1)^2 + (2)^2 = 1 + 4 = 5
Então, a expressão fica:
e^-theta(-cos(2theta) + 2 sin(2theta))5 + C

Passo 5

Podemos reescrever a expressão para deixar mais claro:
integral e^-theta cos(2theta), dtheta = e^-theta (2 sin(2theta) - cos(2theta))5 + C

Resposta

integral e^-theta cos(2theta), dtheta = e^-theta (2 sin(2theta) - cos(2theta))5 + C

Exercícios relacionados

Considere-se um circuito elétrico constituído por uma força eletromotriz que produz uma queda de tensão E(t), uma resistência R, uma bobine com indutância L e um condensador com capacitância C, ligados em série (circuito RLC). Nessas condições a carga instantânea no condensador q(t) é tal que
L d^2q/dt^2 + R dq/dt + 1/C q = E(t)
sendo a intensidade de correte i, cada instante de t, dada por i(t) = d q / d t.
Supondo que E(t) = 0 (Volt), R = 2 (Ohm), L=0,05 (Henry) e C = 1/100 (Farad), e sabendo que no instante inicial a intensidade de corrente é nula e a carga do condensador é igual a 5 (Coulomb) :
determinar a intensidade de corrente em cada instante t.
Resolvas as seguintes equações por separação de variáveis:
(c) (1+x^2) y' - x y = 0
Verifique se a solução particular proposta é solução da EDO e verifica as condições iniciais (ou de contorno) correspondentes:
y' + 2 x y^2 = 0 Condição inicial: y(0) = 1, x ∈ ]-1, 1[
Solução proposta: y = 1 / (x^2 - 1)
Dada a seguinte Equação Diferencial, responda os itens citados abaixo:
(e^(3y) - y) cos(2x) dy/dx = e^y sen(2x)
$© A solução apresenta no item (b) é explícita ou implícita?