integral e^-theta cos (2 theta), d theta

Passo 1

Vamos resolver a integral . Aqui, estamos trabalhando com cálculo integral, especificamente com integrais que envolvem funções exponenciais e funções trigonométricas. Para resolver esse tipo de integral, vamos precisar usar o método de integração por partes ou identificar que a integral pode ser resolvida usando uma fórmula específica para a combinação de exponenciais e cossenos.

Passo 2

Primeiro, reconhecemos que a integral tem a forma integral e^atheta cos(btheta), dtheta = e^atheta(a cos(btheta) + b sin(btheta))a^2 + b^2 + C , onde e . Para resolver integrais desse tipo, podemos usar a seguinte fórmula:
Essa fórmula combina a função exponencial com uma função trigonométrica, facilitando a integração sem a necessidade de aplicar integração por partes repetidamente.

Passo 3

Aplicando a fórmula ao nosso caso, temos integral e^-theta cos(2theta), dtheta = e^-theta((-1) cos(2theta) + 2 sin(2theta))(-1)^2 + (2)^2 + C e . Substituindo esses valores na fórmula, obtemos:

Passo 4

Simplificando o denominador:
(-1)^2 + (2)^2 = 1 + 4 = 5
Então, a expressão fica:
e^-theta(-cos(2theta) + 2 sin(2theta))5 + C

Passo 5

Podemos reescrever a expressão para deixar mais claro:
integral e^-theta cos(2theta), dtheta = e^-theta (2 sin(2theta) - cos(2theta))5 + C

Resposta

integral e^-theta cos(2theta), dtheta = e^-theta (2 sin(2theta) - cos(2theta))5 + C

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