Considere o circuito elétrico formado por um resistor de resistência R, um indutor de indutância L e uma fonte de tensão externa E(t), ligados em série cuja equação que descreve a corrente elétrica I = I(t) que o percorre é dada por:
L dI/dt + R I = E(t)
Se a bateria gera uma diferença de potencial de E(t) = 10 volts, enquanto a resistência R é de 100 ohms e a indutância L é de 0,5 henrys, encontre a corrente I(t) em cada instante t, se I(0) = 0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um circuito elétrico com um resistor, um indutor e uma fonte de tensão tudo conectado em série. A gente precisa encontrar a corrente elétrica que passa por esse circuito em qualquer instante . Para isso, vamos usar conhecimentos sobre circuitos RL e resolver uma equação diferencial que descreve esse sistema.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação que descreve a corrente no circuito. A equação dada é:
Aqui:
  • henrys (indutância),
  • ohms (resistência),
  • volts (tensão da fonte),
  • é a corrente que queremos encontrar,
  • é a derivada da corrente em relação ao tempo.
Como é constante (10 volts), a equação fica:

Passo 3

Agora, vamos resolver essa equação diferencial. A equação é linear e de primeira ordem, e podemos resolvê-la usando o método do fator integrante.
Primeiro, vamos dividir todos os termos por 0,5 para simplificar:
Agora, identificamos que a equação está na forma:
Onde:
  • ,
  • .
O próximo passo é encontrar o fator integrante :
Multiplicamos toda a equação pelo fator integrante:
Isso simplifica para:
Integrando ambos os lados em relação a :
Onde é a constante de integração.
Calculando a integral:
Então:

Passo 4

Agora, isolamos :
Para encontrar a constante , usamos a condição inicial dada: .
Substituindo e :

Resposta

Assim, substituindo na expressão de , temos:

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