Considere o circuito elétrico formado por um resistor de resistência
, um indutor de indutância
e uma fonte de tensão externa
, ligados em série cuja equação que descreve a corrente elétrica
que o percorre é dada por:
Se a bateria gera uma diferença de potencial de
volts, enquanto a resistência
é de 100 ohms e a indutância
é de 0,5 henrys, encontre a corrente
em cada instante
, se
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um circuito elétrico com um resistor, um indutor e uma fonte de tensão tudo conectado em série. A gente precisa encontrar a corrente elétrica
que passa por esse circuito em qualquer instante
. Para isso, vamos usar conhecimentos sobre circuitos RL e resolver uma equação diferencial que descreve esse sistema.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a equação que descreve a corrente no circuito. A equação dada é:
Aqui:
-
henrys (indutância), -
ohms (resistência), -
volts (tensão da fonte), -
é a corrente que queremos encontrar, -
é a derivada da corrente em relação ao tempo.
Como
é constante (10 volts), a equação fica:
Passo 3
Agora, vamos resolver essa equação diferencial. A equação é linear e de primeira ordem, e podemos resolvê-la usando o método do fator integrante.
Primeiro, vamos dividir todos os termos por 0,5 para simplificar:
Agora, identificamos que a equação está na forma:
Onde:
-
, -
.
O próximo passo é encontrar o fator integrante
:
Multiplicamos toda a equação pelo fator integrante:
Isso simplifica para:
Integrando ambos os lados em relação a
:
Onde
é a constante de integração.
Calculando a integral:
Então:
Passo 4
Agora, isolamos
:
Para encontrar a constante
, usamos a condição inicial dada:
.
Substituindo
e
:
Resposta
Assim, substituindo
na expressão de
, temos:
Exercícios relacionados
Estabeleça os limites indicados.
Verifique se as seguintes séries são convergentes ou divergentes? Justifique sua resposta.
Resolver as seguintes equações diferenciais:
e) .
e)
Utilize coordenadas cilíndricas:
a) , onde
é a região que está dentro do cilindro
e entre os planos
e
.
b) , onde
é o sólido do primeiro octante que está abaixo do paraboloide
.
c) , onde
é o sólido que está dentro do cilindro
, acima do plano
e abaixo do cone
.
d) Determine volume do sólido que é limitado pelo cone
e abaixo da esfera
a)
b)
c)
d) Determine