Considere o circuito elétrico formado por um resistor de resistência , um indutor de indutância e uma fonte de tensão externa , ligados em série cuja equação que descreve a corrente elétrica que o percorre é dada por:
Se a bateria gera uma diferença de potencial de volts, enquanto a resistência é de 100 ohms e a indutância é de 0,5 henrys, encontre a corrente em cada instante , se .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um circuito elétrico com um resistor, um indutor e uma fonte de tensão tudo conectado em série. A gente precisa encontrar a corrente elétrica que passa por esse circuito em qualquer instante . Para isso, vamos usar conhecimentos sobre circuitos RL e resolver uma equação diferencial que descreve esse sistema.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação que descreve a corrente no circuito. A equação dada é:
Aqui:
  • henrys (indutância),
  • ohms (resistência),
  • volts (tensão da fonte),
  • é a corrente que queremos encontrar,
  • é a derivada da corrente em relação ao tempo.
Como é constante (10 volts), a equação fica:

Passo 3

Agora, vamos resolver essa equação diferencial. A equação é linear e de primeira ordem, e podemos resolvê-la usando o método do fator integrante.
Primeiro, vamos dividir todos os termos por 0,5 para simplificar:
Agora, identificamos que a equação está na forma:
Onde:
  • ,
  • .
O próximo passo é encontrar o fator integrante :
Multiplicamos toda a equação pelo fator integrante:
Isso simplifica para:
Integrando ambos os lados em relação a :
Onde é a constante de integração.
Calculando a integral:
Então:

Passo 4

Agora, isolamos :
Para encontrar a constante , usamos a condição inicial dada: .
Substituindo e :

Resposta

Assim, substituindo na expressão de , temos:

Exercícios relacionados

Estabeleça os limites indicados.
Verifique se as seguintes séries são convergentes ou divergentes? Justifique sua resposta.
Resolver as seguintes equações diferenciais:
e) .
Utilize coordenadas cilíndricas:
a) , onde é a região que está dentro do cilindro e entre os planos e .
b) , onde é o sólido do primeiro octante que está abaixo do paraboloide .
c) , onde é o sólido que está dentro do cilindro , acima do plano e abaixo do cone .
d) Determine volume do sólido que é limitado pelo cone e abaixo da esfera