Resolver as seguintes equações diferenciais:
e) d^4y/dx^4 - d^2y/dx^2 - 2y = 0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial de quarta ordem que é:
Esse tipo de problema pertence à matéria de Equações Diferenciais, especificamente equações lineares de coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar encontrar a solução geral da equação, utilizando o método dos coeficientes constantes e a equação característica.

Passo 2

Primeiro, vamos transformar a equação diferencial em uma equação algébrica. Para isso, substituímos as derivadas por potências de uma variável imaginária, geralmente usada para simplificar. Vamos chamar essa variável de .
Então, a equação fica:

Passo 3

Agora, precisamos resolver essa equação característica . É uma equação polinomial de quarto grau, mas podemos simplificar fazendo uma substituição. Vamos chamar , então a equação fica:

Passo 4

Resolvendo a equação quadrática , usamos a fórmula de Bhaskara:
Então, as soluções para são:

Passo 5

Lembrando que , encontramos os valores de :
Para :
Para :

Passo 6

Agora que temos os valores de , podemos escrever a solução geral da equação diferencial. Como temos raízes reais e imaginárias, combinamos as soluções correspondentes:
onde e são constantes arbitrárias.

Resposta

A solução geral da equação diferencial dada é:
onde e são constantes que podem ser determinadas com condições iniciais.

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