Resolver as seguintes equações diferenciais:
e)
.
e)
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial de quarta ordem que é:
Esse tipo de problema pertence à matéria de Equações Diferenciais, especificamente equações lineares de coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar encontrar a solução geral da equação, utilizando o método dos coeficientes constantes e a equação característica.
Passo 2
Primeiro, vamos transformar a equação diferencial em uma equação algébrica. Para isso, substituímos as derivadas por potências de uma variável imaginária, geralmente usada para simplificar. Vamos chamar essa variável de
.
Então, a equação fica:
Passo 3
Agora, precisamos resolver essa equação característica
. É uma equação polinomial de quarto grau, mas podemos simplificar fazendo uma substituição. Vamos chamar
, então a equação fica:
Passo 4
Resolvendo a equação quadrática
, usamos a fórmula de Bhaskara:
Então, as soluções para
são:
Passo 5
Lembrando que
, encontramos os valores de
:
Para
:
Para
:
Passo 6
Agora que temos os valores de
, podemos escrever a solução geral da equação diferencial. Como temos raízes reais e imaginárias, combinamos as soluções correspondentes:
onde
e
são constantes arbitrárias.
Resposta
A solução geral da equação diferencial dada é:
onde
e
são constantes que podem ser determinadas com condições iniciais.