Utilize coordenadas cilíndricas:
a) integral triplaE raizx^2+y^2 d V, onde E é a região que está dentro do cilindro x^2+y^2=16 e entre os planos z=-5 e z=4.
b) integral triplaE(x+y+z) d V, onde E é o sólido do primeiro octante que está abaixo do paraboloide z=4-x^2-y^2.
c) integral triplaE x^2 d V, onde E é o sólido que está dentro do cilindro x^2+y^2=1, acima do plano z=0 e abaixo do cone z^2=4 x^2+4 y^2.
d) Determine o volume do sólido que é limitado pelo cone z=raizx^2+y^2 e abaixo da esfera x^2+y^2+z^2=2

Passo 1

Vamos resumir o que a questão está pedindo e quais conceitos vamos usar. A questão pede para calcular a integral tripla , onde é a região dentro do cilindro e entre os planos e .
Vamos utilizar coordenadas cilíndricas para resolver essa integral, já que a região possui simetria cilíndrica. Nas coordenadas cilíndricas, as variáveis são , e , e lembramos que . Precisamos também expressar a função integranda em coordenadas cilíndicas, que simplifica para .

Passo 2

Primeiro, vamos descrever os limites de integração em coordenadas cilíndricas.
  • O cilindro se transforma em .
  • Os planos e indicam que varia de a .
  • Como não há restrição para , ele varia de a .
Portanto, os limites de integração são:
  • de a ,
  • de a ,
  • de a .

Passo 3

A função integranda integral triplaE raizx^2+y^2 , dV = integral0^2pi integral0^4 integral-5^4 r cdot r , dz , dr , dtheta = integral0^2pi integral0^4 integral-5^4 r^2 , dz , dr , dtheta em coordenadas cilíndricas é igual a . Além disso, o elemento de volume em coordenadas cilíndricas é .
Então, a integral tripla se torna:

Passo 4

Vamos integrar primeiro em relação a integral-5^4 r^2 , dz = r^2 cdot (z) |-5^4 = r^2 cdot (4 - (-5)) = r^2 cdot 9 = 9r^2 .

Passo 5

Agora, substituímos essa integração na integral dupla:
integral0^2pi integral0^4 9r^2 , dr , dtheta
Vamos integrar em relação a integral0^4 9r^2 , dr = 9 cdot r^33 |0^4 = 3r^3 |0^4 = 3 cdot (64 - 0) = 192 :

Passo 6

Por fim, integramos em relação a integral0^2pi 192 , dtheta = 192 cdot theta |0^2pi = 192 cdot 2pi = 384pi :

Resposta

O valor da integral tripla é .

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