Utilize coordenadas cilíndricas:
a) , onde é a região que está dentro do cilindro e entre os planos e .
b) , onde é o sólido do primeiro octante que está abaixo do paraboloide .
c) , onde é o sólido que está dentro do cilindro , acima do plano e abaixo do cone .
d) Determine volume do sólido que é limitado pelo cone e abaixo da esfera
Passo 1
Vamos resumir o que a questão está pedindo e quais conceitos vamos usar. A questão pede para calcular a integral tripla , onde é a região dentro do cilindro e entre os planos e .
Vamos utilizar coordenadas cilíndricas para resolver essa integral, já que a região possui simetria cilíndrica. Nas coordenadas cilíndricas, as variáveis são , e , e lembramos que . Precisamos também expressar a função integranda em coordenadas cilíndicas, que simplifica para .
Passo 2
Primeiro, vamos descrever os limites de integração em coordenadas cilíndricas.
O cilindro se transforma em .
Os planos e indicam que varia de a .
Como não há restrição para , ele varia de a .
Portanto, os limites de integração são:
de a ,
de a ,
de a .
Passo 3
A função integranda em coordenadas cilíndricas é igual a . Além disso, o elemento de volume em coordenadas cilíndricas é .
Então, a integral tripla se torna:
Passo 4
Vamos integrar primeiro em relação a .
Passo 5
Agora, substituímos essa integração na integral dupla: