Utilize coordenadas cilíndricas:
a) , onde é a região que está dentro do cilindro e entre os planos e .
b) , onde é o sólido do primeiro octante que está abaixo do paraboloide .
c) , onde é o sólido que está dentro do cilindro , acima do plano e abaixo do cone .
d) Determine volume do sólido que é limitado pelo cone e abaixo da esfera

Passo 1

Vamos resumir o que a questão está pedindo e quais conceitos vamos usar. A questão pede para calcular a integral tripla , onde é a região dentro do cilindro e entre os planos e .
Vamos utilizar coordenadas cilíndricas para resolver essa integral, já que a região possui simetria cilíndrica. Nas coordenadas cilíndricas, as variáveis são , e , e lembramos que . Precisamos também expressar a função integranda em coordenadas cilíndicas, que simplifica para .

Passo 2

Primeiro, vamos descrever os limites de integração em coordenadas cilíndricas.
  • O cilindro se transforma em .
  • Os planos e indicam que varia de a .
  • Como não há restrição para , ele varia de a .
Portanto, os limites de integração são:
  • de a ,
  • de a ,
  • de a .

Passo 3

A função integranda em coordenadas cilíndricas é igual a . Além disso, o elemento de volume em coordenadas cilíndricas é .
Então, a integral tripla se torna:

Passo 4

Vamos integrar primeiro em relação a .

Passo 5

Agora, substituímos essa integração na integral dupla:
Vamos integrar em relação a :

Passo 6

Por fim, integramos em relação a :

Resposta

O valor da integral tripla é .

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Resolver as seguintes equações diferenciais:
e) .
Considere o circuito elétrico formado por um resistor de resistência , um indutor de indutância e uma fonte de tensão externa , ligados em série cuja equação que descreve a corrente elétrica que o percorre é dada por:
Se a bateria gera uma diferença de potencial de volts, enquanto a resistência é de 100 ohms e a indutância é de 0,5 henrys, encontre a corrente em cada instante , se .
Verifique se as seguintes séries convergem absolutamente, condicionalmente ou diverge.