Verifique se as seguintes séries são convergentes ou divergentes? Justifique sua resposta.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema pede para verificarmos se a série , onde , converge ou diverge. Para resolver isso, vamos usar o Teste da Integral, que é uma ferramenta da Análise de Séries para determinar a convergência de séries infinitas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funciona o Teste da Integral. Esse teste nos diz que, se temos uma série da forma com positivos e decrescentes, podemos comparar essa série com a integral , onde . Se a integral converge, a série também converge; se a integral diverge, a série também diverge.

Passo 3

No nosso caso, temos . Vamos considerar a função contínua, positiva e decrescente para . Agora, vamos calcular a integral imprópria correspondente:

Passo 4

Para resolver essa integral, podemos usar uma substituição. Vamos deixar , o que implica que . Reescrevendo a integral em termos de :
Mas essa substituição não simplifica muito, então vamos tentar integrar por partes.

Passo 5

Aplicando Integração por Partes, onde escolhemos:
Aplicando a fórmula:
Então:
Simplificando:
Integrando novamente:

Passo 6

Agora, avaliando a integral de até :
Quando :
  • Se , , então e .
  • Se , a integral envolve , que cresce sem limite.
  • Se , , então os termos divergem.

Passo 7

Portanto:
  • Se , a integral converge, o que implica que a série também converge.
  • Se , a integral diverge, então a série também diverge.

Resposta

A série converge para todo e diverge para todo .

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