Verifique se as seguintes séries são convergentes ou divergentes? Justifique sua resposta.
sumn=2^infty ln nn^p, p>0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema pede para verificarmos se a série sumn=2^infty ln nn^p, onde p > 0, converge ou diverge. Para resolver isso, vamos usar o Teste da Integral, que é uma ferramenta da Análise de Séries para determinar a convergência de séries infinitas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funciona o Teste da Integral. Esse teste nos diz que, se temos uma série da forma sumn=1^infty an com an positivos e decrescentes, podemos comparar essa série com a integral integral1^infty f(x) , dx, onde f(x) = ax. Se a integral converge, a série também converge; se a integral diverge, a série também diverge.

Passo 3

No nosso caso, temos an = ln nn^p. Vamos considerar a função contínua, positiva e decrescente f(x) = ln xx^p para x >= 2. Agora, vamos calcular a integral imprópria correspondente:
integral2^infty ln xx^p , dx

Passo 4

Para resolver essa integral, podemos usar uma substituição. Vamos deixar u = ln x, o que implica que du = 1x dx. Reescrevendo a integral em termos de u:
integral ux^p x , du = integral ux^p-1 , du
Mas essa substituição não simplifica muito, então vamos tentar integrar por partes.

Passo 5

Aplicando Integração por Partes, onde escolhemos:
  • u = ln x du = 1x dx
  • dv = x^-p dx v = x^-p+1-p+1
Aplicando a fórmula:
integral u , dv = uv - integral v , du
Então:
integral ln xx^p dx = ln x cdot x^-p+1-p+1 - integral x^-p+1-p+1 cdot 1x dx
Simplificando:
= ln x(-p+1)x^p-1 - 1(-p+1) integral x^-p dx
Integrando novamente:
= ln x(1 - p)x^p-1 + 1(1 - p)^2 x^p-1 + C

Passo 6

Agora, avaliando a integral de 2 até infty:
limb to infty [ ln b(1 - p)b^p-1 + 1(1 - p)^2 b^p-1 ] - [ ln 2(1 - p)2^p-1 + 1(1 - p)^2 2^p-1 ]
Quando b to infty:
  • Se p > 1, b^p-1 to infty, então ln bb^p-1 to 0 e 1b^p-1 to 0.
  • Se p = 1, a integral envolve ln x / x, que cresce sem limite.
  • Se p < 1, b^p-1 to 0, então os termos divergem.

Passo 7

Portanto:
  • Se p > 1, a integral converge, o que implica que a série sumn=2^infty ln nn^p também converge.
  • Se p <= 1, a integral diverge, então a série também diverge.

Resposta

A série sumn=2^infty ln nn^p converge para todo p > 1 e diverge para todo p <= 1.

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