Verifique se as seguintes séries são convergentes ou divergentes? Justifique sua resposta.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema pede para verificarmos se a série
, onde
, converge ou diverge. Para resolver isso, vamos usar o Teste da Integral, que é uma ferramenta da Análise de Séries para determinar a convergência de séries infinitas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como funciona o Teste da Integral. Esse teste nos diz que, se temos uma série da forma
com
positivos e decrescentes, podemos comparar essa série com a integral
, onde
. Se a integral converge, a série também converge; se a integral diverge, a série também diverge.
Passo 3
No nosso caso, temos
. Vamos considerar a função contínua, positiva e decrescente
para
. Agora, vamos calcular a integral imprópria correspondente:
Passo 4
Para resolver essa integral, podemos usar uma substituição. Vamos deixar
, o que implica que
. Reescrevendo a integral em termos de
:
Mas essa substituição não simplifica muito, então vamos tentar integrar por partes.
Passo 5
Aplicando Integração por Partes, onde escolhemos:
-
⇒ -
⇒
Aplicando a fórmula:
Então:
Simplificando:
Integrando novamente:
Passo 6
Agora, avaliando a integral de
até
:
Quando
:
- Se
, , então e . - Se
, a integral envolve , que cresce sem limite. - Se
, , então os termos divergem.
Passo 7
Portanto:
- Se
, a integral converge, o que implica que a série também converge. - Se
, a integral diverge, então a série também diverge.
Resposta
A série
converge para todo
e diverge para todo
.