Considere um circuito RLC em série, onde o capacitor encontra-se totalmente carregado inicialmente. (a) Determine o tipo de amortecimento (b) Determine a corrente nesse circuito sabendo que i(0)=5 A e a fase é sessenta graus. Dados: R=50 Omega, L=50 H e C=20 mF

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um circuito RLC em série, onde o capacitor está totalmente carregado inicialmente. Precisamos resolver duas questões:
(a) Determinar o tipo de amortecimento do circuito.
(b) Calcular a corrente no circuito sabendo que a corrente inicial é e a fase é de sessenta graus.
Para resolver isso, vamos precisar das fórmulas que relacionam resistência ( ), indutância ( ) e capacitância ( ) em um circuito RLC.

Passo 2

Vamos começar determinando o tipo de amortecimento. O amortecimento em um circuito RLC depende do discriminante da equação característica, que é calculado pela fórmula:
De
Com o valor de , podemos identificar se o circuito é superamortecido ( ), criticamente amortecido ( ) ou subamortecido ( ).

Passo 3

Vamos calcular o discriminante usando os valores fornecidos:
R = 50,Omega
L = 50,H
C = 20,mF = 0,020,F
Substituindo na fórmula:
De
De
De
De
De

Passo 4

Como o discriminante é menor que zero, isso significa que o circuito é subamortecido. Em um circuito subamortecido, a corrente oscila enquanto decai ao longo do tempo.

Passo 5

Agora, vamos determinar a corrente no circuito. Para um circuito RLC subamortecido, a corrente pode ser expressa pela fórmula:
i(t) = Im e^-alpha t cos(omegad t + phi)
Onde:
  • é a amplitude máxima da corrente,
  • é a taxa de decaimento,
  • é a frequência angular amortecida,
  • é a fase inicial.

Passo 6

Primeiro, calculamos alpha = R2L = 502 cdot 50 = 50100 = 0,5,s^-1 :

Passo 7

Em seguida, calculamos omegad = raiz1LC - alpha^2 = raiz150 cdot 0,020 - (0,5)^2 :
omegad = raiz11 - 0,25 = raiz1 - 0,25 = raiz0,75 approx 0,866,rad/s

Passo 8

Sabemos que a corrente inicial i(0) = Im e^0 cos(phi) = Im cos(60^circ) e a fase 5 = Im cdot 0,5 . Podemos usar essas informa�es para determinar Im = 10,A . No instante :

Passo 9

Agora, substituímos todos os valores na fórmula da corrente:
i(t) = 10 e^-0,5 t cos(0,866 t + 60^circ)

Resposta

A corrente no circuito é dada por:
i(t) = 10,e^-0,5,t cos(0,866,t + 60^circ)

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