Determine se cada uma das equações são exatas. Para as exatas, encontre a solução. d yd x=-a x+b yb x+c y.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! O enunciado pede para a gente verificar se a equação é exata. Se for, a gente também vai encontrar a solução. Para isso, vamos usar conceitos de equações diferenciais exatas e verificar algumas propriedades básicas.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação de forma que fique no formato padrão das equações diferenciais exatas, que é dydx = -a x + b yb x + c y .
A equação dada é:
(a x + b y) dx + (b x + c y) dy = 0
Multiplicando ambos os lados por M(x, y) = a x + b y e N(x, y) = b x + c y para eliminar o denominador, temos:
Aqui, identificamos:

Passo 3

Agora, para verificar se a equação é exata, precisamos checar se a derivada parcial de partial Mpartial y = partial Npartial x em relação a partial Mpartial y = b e partial Npartial x = b é igual à derivada parcial de em relação a . Isso significa que:
Calculando essas derivadas:
Como , a equação é realmente exata.

Passo 4

Sendo a equação exata, podemos encontrar uma função potencial dF = M dx + N dy tal que:
F(x, y) = integral M , dx = integral (a x + b y) dx = a2 x^2 + b y x + g(y)
Para encontrar , vamos integrar em relação a :
Aqui, é uma função que depende apenas de .

Passo 5

Agora, derivamos partial Fpartial y = b x + g'(y) = N(x, y) = b x + c y em relação a b x + g'(y) = b x + c y implies g'(y) = c y e igualamos a g(y) = c2 y^2 + C para encontrar :
Comparando os termos:
Integrando em relação a :
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Agora, juntamos tudo para obter a função potencial completa:
F(x, y) = a2 x^2 + b y x + c2 y^2 + C
A solução geral da equação diferencial exata é dada por:
F(x, y) = constante
Então, temos:
a2 x^2 + b x y + c2 y^2 = C

Resposta

A equação é exata e sua solução geral é:
a2 x^2 + b x y + c2 y^2 = C
onde é a constante de integração.

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