Determine se cada uma das equações são exatas. Para as exatas, encontre a solução.
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! O enunciado pede para a gente verificar se a equação
é exata. Se for, a gente também vai encontrar a solução. Para isso, vamos usar conceitos de equações diferenciais exatas e verificar algumas propriedades básicas.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação de forma que fique no formato padrão das equações diferenciais exatas, que é
.
A equação dada é:
Multiplicando ambos os lados por
para eliminar o denominador, temos:
Aqui, identificamos:
Passo 3
Agora, para verificar se a equação é exata, precisamos checar se a derivada parcial de
em relação a
é igual à derivada parcial de
em relação a
. Isso significa que:
Calculando essas derivadas:
Como
, a equação é realmente exata.
Passo 4
Sendo a equação exata, podemos encontrar uma função potencial
tal que:
Para encontrar
, vamos integrar
em relação a
:
Aqui,
é uma função que depende apenas de
.
Passo 5
Agora, derivamos
em relação a
e igualamos a
para encontrar
:
Comparando os termos:
Integrando
em relação a
:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Agora, juntamos tudo para obter a função potencial completa:
A solução geral da equação diferencial exata é dada por:
Então, temos:
Resposta
A equação é exata e sua solução geral é:
onde
é a constante de integração.
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Usando o método dos coeficientes indeterminados, encontre a solução geral das equações diferenciais abaixo:
Determine uma equação diferencial cuja solução seja
.
Nos Problemas 1-24, verifique se a equação dada é exata. Se for, resolva.
Considere um circuito RLC em série, onde o capacitor encontra-se totalmente carregado inicialmente. (a) Determine o tipo de amortecimento (b) Determine a corrente nesse circuito sabendo que
e a fase é sessenta graus. Dados:
e