Nos Problemas 1-24, verifique se a equação dada é exata. Se for, resolva.
(5 y-2 x) y^prime-2 y=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente recebeu a seguinte equação diferencial:
(5 y - 2 x) y^prime - 2 y = 0
Primeiro, precisamos entender o que significa verificar se essa equação é exata. Uma equação diferencial é exata quando ela pode ser escrita de uma forma que permita encontrar uma função tal que . Se for exata, resolvemos encontrando essa função .

Passo 2

Vamos reescrever a equação para ficar no formato (5 y - 2 x) y^prime = 2 y. Começamos isolando y^prime = 2 y5 y - 2 x:
2 y5 y - 2 x dx - dy = 0
Dividindo ambos os lados por -2 y , dx + (5 y - 2 x) , dy = 0:
Agora, multiplicamos ambos os lados por para obter:
Podemos rearranjar isso para ficar mais claro:
Aqui, identificamos que:

Passo 3

Para verificar se a equação é exata, a gente precisa comparar as derivadas parciais de partial Mpartial y = partial (-2 y)partial y = -2 em relação a partial Npartial x = partial (5 y - 2 x)partial x = -2 e de em relação a . Se elas forem iguais, a equação é exata.
Calculando:
Como , a equação é exata!

Passo 4

Agora que sabemos que a equação é exata, podemos encontrar a função dF = M , dx + N , dy = 0 tal que:
F(x, y) = integral (-2 y) , dx = -2 y x + h(y)
Primeiro, integramos em relação a :
Aqui, é uma função que depende apenas de e será determinada na próxima etapa.

Passo 5

Para encontrar partial Fpartial y = -2 x + h'(y) = 5 y - 2 x, derivamos h'(y) = 5 y em relação a h(y) = integral 5 y , dy = 52 y^2 + C e igualamos à função :
Resolvendo para :
Agora, integramos em relação a :
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Substituímos F(x, y) = -2 x y + 52 y^2 + C de volta na expressão de -2 x y + 52 y^2 = C:
Como , podemos escrever a solução geral da equação diferencial:

Resposta

A solução geral da equação é , onde é uma constante.

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