Nos Problemas 1-24, verifique se a equação dada é exata. Se for, resolva.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente recebeu a seguinte equação diferencial:
Primeiro, precisamos entender o que significa verificar se essa equação é exata. Uma equação diferencial é exata quando ela pode ser escrita de uma forma que permita encontrar uma função tal que . Se for exata, resolvemos encontrando essa função .

Passo 2

Vamos reescrever a equação para ficar no formato . Começamos isolando :
Dividindo ambos os lados por :
Agora, multiplicamos ambos os lados por para obter:
Podemos rearranjar isso para ficar mais claro:
Aqui, identificamos que:

Passo 3

Para verificar se a equação é exata, a gente precisa comparar as derivadas parciais de em relação a e de em relação a . Se elas forem iguais, a equação é exata.
Calculando:
Como , a equação é exata!

Passo 4

Agora que sabemos que a equação é exata, podemos encontrar a função tal que:
Primeiro, integramos em relação a :
Aqui, é uma função que depende apenas de e será determinada na próxima etapa.

Passo 5

Para encontrar , derivamos em relação a e igualamos à função :
Resolvendo para :
Agora, integramos em relação a :
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Substituímos de volta na expressão de :
Como , podemos escrever a solução geral da equação diferencial:

Resposta

A solução geral da equação é , onde é uma constante.

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