Nos Problemas 1-24, verifique se a equação dada é exata. Se for, resolva.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente recebeu a seguinte equação diferencial:
Primeiro, precisamos entender o que significa verificar se essa equação é exata. Uma equação diferencial é exata quando ela pode ser escrita de uma forma que permita encontrar uma função
tal que
. Se for exata, resolvemos encontrando essa função
.
Passo 2
Vamos reescrever a equação para ficar no formato
. Começamos isolando
:
Dividindo ambos os lados por
:
Agora, multiplicamos ambos os lados por
para obter:
Podemos rearranjar isso para ficar mais claro:
Aqui, identificamos que:
Passo 3
Para verificar se a equação é exata, a gente precisa comparar as derivadas parciais de
em relação a
e de
em relação a
. Se elas forem iguais, a equação é exata.
Calculando:
Como
, a equação é exata!
Passo 4
Agora que sabemos que a equação é exata, podemos encontrar a função
tal que:
Primeiro, integramos
em relação a
:
Aqui,
é uma função que depende apenas de
e será determinada na próxima etapa.
Passo 5
Para encontrar
, derivamos
em relação a
e igualamos à função
:
Resolvendo para
:
Agora, integramos
em relação a
:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Substituímos
de volta na expressão de
:
Como
, podemos escrever a solução geral da equação diferencial:
Resposta
A solução geral da equação é
, onde
é uma constante.
Exercícios relacionados
Determine se cada uma das equações são exatas. Para as exatas, encontre a solução.
.
Usando o método dos coeficientes indeterminados, encontre a solução geral das equações diferenciais abaixo:
Considere um circuito RLC em série, onde o capacitor encontra-se totalmente carregado inicialmente. (a) Determine o tipo de amortecimento (b) Determine a corrente nesse circuito sabendo que
e a fase é sessenta graus. Dados:
e
Qual é a capacitância de um circuito LC, sabendo-se que a carga máxima do capacitor é
e a energia total e 140J?