Considere um circuito R C em série, com R=1,40 M Omega e C=1,80 mu F e considerando que a equação que rege um circuito sendo carregado é dada por: q(t)=Q(1-e^-t / R C) e a que rege um circuito sendo descarregado, dada por: q(t)=Q e^-t / R C, sendo Q=C E, calcule:
b) O tempo, em valor de constante de tempo tau, para que o capacitor esteja carregado com 60 % de sua carga total.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um circuito R C em série, onde a resistência q(t) = Q (1 - e^-t / RC) e a capacitância . Queremos calcular o tempo necessário, em termos da constante de tempo , para que o capacitor esteja carregado com 60% da sua carga total. Para isso, vamos usar a equação de carregamento do capacitor:
Aqui, , mas vamos focar na parte da constante de tempo que vamos precisar para resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a constante de tempo tau = R cdot C do circuito. A constante de tempo é dada por:
tau = 1,40 times 10^6 , Omega times 1,80 times 10^-6 , F = 2,52 , segundos
Substituindo os valores:
Mas, como o exercício pede o tempo em termos de , vamos manter na equação.

Passo 3

Queremos encontrar o tempo 0,60 Q = Q (1 - e^-t / tau) onde o capacitor está carregado com 60% da carga total . Então, colocamos na equação de carregamento:

Passo 4

Podemos simplificar a equação dividindo ambos os lados por 0,60 = 1 - e^-t / tau :
e^-t / tau = 1 - 0,60 = 0,40
Agora, isolamos o termo exponencial:

Passo 5

Para resolver para - ttau = ln(0,40) , vamos aplicar o logaritmo natural nos dois lados:
ttau = -ln(0,40)
Multiplicando ambos os lados por -1:

Passo 6

Calculando o valor de ln(0,40) approx -0,916 :
ttau = 0,916
Então:

Resposta

O tempo necessário para que o capacitor esteja carregado com 60% da carga total é aproximadamente 0,916 .

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