Considere um círculo C de centro P0=(x0, y0) e raio r>0. Dado um ponto P=(x, y) definimos a potência de P em relação a C por
p(P, C)=|P-P0|^2-r^2
i) Considere dois círculos Ci(i=1,2) de centros Pi=(xi, yi) e raios ri>0. Determine o lugar geométrico definido pela equação
P: p(P, C1)=p(P, C2)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar o lugar geométrico dos pontos que têm a mesma potência em relação a dois círculos diferentes, e . A matéria envolvida aqui é geometria analítica, especificamente o conceito de potência de um ponto em relação a um círculo. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é potência de um ponto e como igualar essas potências para dois círculos diferentes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a potência de um ponto em relação a um círculo. A potência de um ponto p(P, C) = | P - P0 |^2 - r^2 em relação a um círculo com centro e raio é dada por:
Aqui, representa a distância entre o ponto e o centro do círculo .

Passo 3

Agora, temos dois círculos p(P, C1) = p(P, C2) e com centros e , e raios e , respectivamente. Queremos encontrar todos os pontos que satisfazem:

Passo 4

Vamos substituir a fórmula da potência para cada círculo na equação acima:
| P - P1 |^2 - r1^2 = | P - P2 |^2 - r2^2
Agora, expandindo as distâncias:
(x - x1)^2 + (y - y1)^2 - r1^2 = (x - x2)^2 + (y - y2)^2 - r2^2

Passo 5

Vamos desenvolver os quadrados:
x^2 - 2x x1 + x1^2 + y^2 - 2y y1 + y1^2 - r1^2 = x^2 - 2x x2 + x2^2 + y^2 - 2y y2 + y2^2 - r2^2

Passo 6

Agora, vamos simplificar a equação. Primeiro, cancelamos -2x x1 + x1^2 - 2y y1 + y1^2 - r1^2 = -2x x2 + x2^2 - 2y y2 + y2^2 - r2^2 e dos dois lados:

Passo 7

Em seguida, vamos reorganizar os termos para agrupar os -2x x1 + 2x x2 - 2y y1 + 2y y2 = x2^2 - x1^2 + y2^2 - y1^2 + r1^2 - r2^2 e :

Passo 8

Fatorando os termos com 2x(x2 - x1) + 2y(y2 - y1) = x2^2 - x1^2 + y2^2 - y1^2 + r1^2 - r2^2 e :

Passo 9

Podemos dividir todos os termos por 2 para simplificar:
x(x2 - x1) + y(y2 - y1) = x2^2 - x1^2 + y2^2 - y1^2 + r1^2 - r2^22

Passo 10

Essa equação é a de uma reta no plano cartesiano. Ou seja, o lugar geométrico dos pontos que têm a mesma potência em relação aos círculos e é uma reta.

Resposta

O lugar geométrico dos pontos x(x2 - x1) + y(y2 - y1) = x2^2 - x1^2 + y2^2 - y1^2 + r1^2 - r2^22 que satisfazem é uma reta definida pela equação:

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