Considere um círculo
de centro
e raio
. Dado um ponto
definimos a potência de
em relação a
por
i) Considere dois círculos
de centros
e raios
. Determine o lugar geométrico definido pela equação
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar o lugar geométrico dos pontos
que têm a mesma potência em relação a dois círculos diferentes,
e
. A matéria envolvida aqui é geometria analítica, especificamente o conceito de potência de um ponto em relação a um círculo. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é potência de um ponto e como igualar essas potências para dois círculos diferentes.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a potência de um ponto em relação a um círculo. A potência de um ponto
em relação a um círculo
com centro
e raio
é dada por:
Aqui,
representa a distância entre o ponto
e o centro do círculo
.
Passo 3
Agora, temos dois círculos
e
com centros
e
, e raios
e
, respectivamente. Queremos encontrar todos os pontos
que satisfazem:
Passo 4
Vamos substituir a fórmula da potência para cada círculo na equação acima:
Agora, expandindo as distâncias:
Passo 5
Vamos desenvolver os quadrados:
Passo 6
Agora, vamos simplificar a equação. Primeiro, cancelamos
e
dos dois lados:
Passo 7
Em seguida, vamos reorganizar os termos para agrupar os
e
:
Passo 8
Fatorando os termos com
e
:
Passo 9
Podemos dividir todos os termos por 2 para simplificar:
Passo 10
Essa equação é a de uma reta no plano cartesiano. Ou seja, o lugar geométrico dos pontos
que têm a mesma potência em relação aos círculos
e
é uma reta.
Resposta
O lugar geométrico dos pontos
que satisfazem
é uma reta definida pela equação: