Considere um círculo de centro e raio . Dado um ponto definimos a potência de em relação a por
i) Considere dois círculos de centros e raios . Determine o lugar geométrico definido pela equação

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar o lugar geométrico dos pontos que têm a mesma potência em relação a dois círculos diferentes, e . A matéria envolvida aqui é geometria analítica, especificamente o conceito de potência de um ponto em relação a um círculo. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é potência de um ponto e como igualar essas potências para dois círculos diferentes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a potência de um ponto em relação a um círculo. A potência de um ponto em relação a um círculo com centro e raio é dada por:
Aqui, representa a distância entre o ponto e o centro do círculo .

Passo 3

Agora, temos dois círculos e com centros e , e raios e , respectivamente. Queremos encontrar todos os pontos que satisfazem:

Passo 4

Vamos substituir a fórmula da potência para cada círculo na equação acima:
Agora, expandindo as distâncias:

Passo 5

Vamos desenvolver os quadrados:

Passo 6

Agora, vamos simplificar a equação. Primeiro, cancelamos e dos dois lados:

Passo 7

Em seguida, vamos reorganizar os termos para agrupar os e :

Passo 8

Fatorando os termos com e :

Passo 9

Podemos dividir todos os termos por 2 para simplificar:

Passo 10

Essa equação é a de uma reta no plano cartesiano. Ou seja, o lugar geométrico dos pontos que têm a mesma potência em relação aos círculos e é uma reta.

Resposta

O lugar geométrico dos pontos que satisfazem é uma reta definida pela equação:

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