Sejam e b=[c10 3 7]. Seja W o conjunto de todas as combinações lineares das colunas de A.
Mostre que a segunda coluna de A pertence a W.
Passo 1
Então, a gente tem uma matriz e um vetor . O conjunto é formado por todas as combinações lineares das colunas de . Nosso objetivo aqui é mostrar que a segunda coluna da matriz está dentro desse conjunto . Para isso, vamos precisar entender o que são combinações lineares e como expressar uma coluna como tal.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma combinação linear. Basicamente, uma combinação linear das colunas de c1 a1 + c2 a2 + c3 a3 significa pegar as colunas de , multiplicar cada uma por um número (chamamos de escalares) e somar tudo isso. Matemáticamente, se as colunas de são , então qualquer vetor em pode ser escrito como:
onde são números reais.
Passo 3
Agora, vamos olhar para a segunda coluna de a2 = 0 8 -2 . A segunda coluna é:
Queremos mostrar que existe uma combinação dessas colunas que resulte exatamente em .
Passo 4
Para isso, vamos tentar expressar c1 a1 + c2 a2 + c3 a3 = a2 como uma combinação linear das colunas de c1 2 -1 1 + c2 0 8 -2 + c3 6 5 1 = 0 8 -2 . Ou seja, queremos encontrar escalares tais que:
Substituindo as colunas de :
Passo 5
Vamos agora resolver esse sistema de equações. Isso dá: