Sejam e . Seja o conjunto de todas as combinações lineares das colunas de .
Mostre que a segunda coluna de pertence a .

Passo 1

Então, a gente tem uma matriz e um vetor . O conjunto é formado por todas as combinações lineares das colunas de . Nosso objetivo aqui é mostrar que a segunda coluna da matriz está dentro desse conjunto . Para isso, vamos precisar entender o que são combinações lineares e como expressar uma coluna como tal.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma combinação linear. Basicamente, uma combinação linear das colunas de significa pegar as colunas de , multiplicar cada uma por um número (chamamos de escalares) e somar tudo isso. Matemáticamente, se as colunas de são , então qualquer vetor em pode ser escrito como:
onde são números reais.

Passo 3

Agora, vamos olhar para a segunda coluna de . A segunda coluna é:
Queremos mostrar que existe uma combinação dessas colunas que resulte exatamente em .

Passo 4

Para isso, vamos tentar expressar como uma combinação linear das colunas de . Ou seja, queremos encontrar escalares tais que:
Substituindo as colunas de :

Passo 5

Vamos agora resolver esse sistema de equações. Isso dá:

Passo 6

Resolvendo a primeira equação:
Substituindo na terceira equação:
Então, .

Passo 7

Agora, substituímos e na segunda equação:
Isso confirma que nossa solução está correta para qualquer valor de .

Passo 8

Vamos escolher para simplificar:
Então, temos:
Ou seja:

Resposta

A segunda coluna de pertence a , pois ela pode ser expressa como uma combinação linear das colunas de (especificamente, ).

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e .
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