Sejam e . Seja o conjunto de todas as combinações lineares das colunas de .
Mostre que a segunda coluna de pertence a .
Passo 1
Então, a gente tem uma matriz e um vetor . O conjunto é formado por todas as combinações lineares das colunas de . Nosso objetivo aqui é mostrar que a segunda coluna da matriz está dentro desse conjunto . Para isso, vamos precisar entender o que são combinações lineares e como expressar uma coluna como tal.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma combinação linear. Basicamente, uma combinação linear das colunas de significa pegar as colunas de , multiplicar cada uma por um número (chamamos de escalares) e somar tudo isso. Matemáticamente, se as colunas de são , então qualquer vetor em pode ser escrito como:
onde são números reais.
Passo 3
Agora, vamos olhar para a segunda coluna de . A segunda coluna é:
Queremos mostrar que existe uma combinação dessas colunas que resulte exatamente em .
Passo 4
Para isso, vamos tentar expressar como uma combinação linear das colunas de . Ou seja, queremos encontrar escalares tais que:
Substituindo as colunas de :
Passo 5
Vamos agora resolver esse sistema de equações. Isso dá:
Passo 6
Resolvendo a primeira equação:
Substituindo na terceira equação:
Então, .
Passo 7
Agora, substituímos e na segunda equação:
Isso confirma que nossa solução está correta para qualquer valor de .
Passo 8
Vamos escolher para simplificar:
Então, temos:
Ou seja:
Resposta
A segunda coluna de pertence a , pois ela pode ser expressa como uma combinação linear das colunas de (especificamente, ).