Sejam A=[ccc2 & 0 & 6 -1 & 8 & 5 1 & -2 & 1] e b=[c10 3 7]. Seja W o conjunto de todas as combinações lineares das colunas de A.
Mostre que a segunda coluna de A pertence a W.

Passo 1

Então, a gente tem uma matriz e um vetor . O conjunto é formado por todas as combinações lineares das colunas de . Nosso objetivo aqui é mostrar que a segunda coluna da matriz está dentro desse conjunto . Para isso, vamos precisar entender o que são combinações lineares e como expressar uma coluna como tal.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma combinação linear. Basicamente, uma combinação linear das colunas de c1 a1 + c2 a2 + c3 a3 significa pegar as colunas de , multiplicar cada uma por um número (chamamos de escalares) e somar tudo isso. Matemáticamente, se as colunas de são , então qualquer vetor em pode ser escrito como:
onde são números reais.

Passo 3

Agora, vamos olhar para a segunda coluna de a2 = 0 8 -2 . A segunda coluna é:
Queremos mostrar que existe uma combinação dessas colunas que resulte exatamente em .

Passo 4

Para isso, vamos tentar expressar c1 a1 + c2 a2 + c3 a3 = a2 como uma combinação linear das colunas de c1 2 -1 1 + c2 0 8 -2 + c3 6 5 1 = 0 8 -2 . Ou seja, queremos encontrar escalares tais que:
Substituindo as colunas de :

Passo 5

Vamos agora resolver esse sistema de equações. Isso dá:
2c1 + 0c2 + 6c3 = 0 -1c1 + 8c2 + 5c3 = 8 1c1 - 2c2 + 1c3 = -2

Passo 6

Resolvendo a primeira equação:
2c1 + 6c3 = 0 implies c1 = -3c3
Substituindo -3c3 - 2c2 + c3 = -2 implies -2c3 - 2c2 = -2 implies c2 + c3 = 1 na terceira equação:
Então, .

Passo 7

Agora, substituímos -(-3c3) + 8(1 - c3) + 5c3 = 8 3c3 + 8 - 8c3 + 5c3 = 8 (3c3 - 8c3 + 5c3) + 8 = 8 0c3 + 8 = 8 e na segunda equação:
Isso confirma que nossa solução está correta para qualquer valor de .

Passo 8

Vamos escolher c1 = -3(0) = 0 c2 = 1 - 0 = 1 para simplificar:
a2 = 0 cdot a1 + 1 cdot a2 + 0 cdot a3
Então, temos:
a2 = a2
Ou seja:

Resposta

A segunda coluna de pertence a , pois ela pode ser expressa como uma combinação linear das colunas de (especificamente, ).

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