Seja um vetor de munido com o produto interno euclidiano, e um subespaço gerado pelos vetores e . Determine os vetores em e em tais que .
Passo 1
Vamos lá! Temos um vetor no espaço com o produto interno euclidiano. Queremos decompor esse vetor em duas partes: uma parte que está dentro do subespaço gerado pelos vetores e , chamada de , e outra parte que está no complemento ortogonal de , chamado de . Para isso, vamos precisar entender como calcular projeções de vetores em subespaços e utilizar o conceito de complemento ortogonal.
Passo 2
Primeiro, precisamos verificar se os vetores que geram , ou seja, e , são linearmente independentes para garantir que eles realmente formam uma base para . Se forem independentes, podemos usar o processo de ortogonalização de Gram-Schmidt para simplificar os cálculos.
Vamos calcular o determinante da matriz formada por e para ver se são linearmente independentes. Como estamos trabalhando em , podemos observar que e não são múltiplos um do outro, então eles são linearmente independentes e formam uma base para .
Passo 3
Agora, para encontrar a projeção de em , que será nosso vetor , utilizamos a fórmula da projeção em subespaço. A projeção de em é dada por:
Vamos calcular cada uma dessas partes passo a passo.
Passo 4
Primeiro, calculemos os produtos internos:
Passo 5
Agora, substituímos esses valores na fórmula da projeção:
Vamos multiplicar cada coeficiente pelos respectivos vetores:
Passo 6
Somando esses dois vetores, obtemos :
Passo 7
Agora que temos , podemos encontrar usando a relação . Basta subtrair de :