Seja x=(1,2,0,-2) um vetor de R^4 munido com o produto interno euclidiano, e W um subespaço gerado pelos vetores v1=(1,1,1,1) e v2=(1,1,-1,-1). Determine os vetores w1 em W e w2 em W^perp tais que x=w1+w2.

Passo 1

Vamos lá! Temos um vetor x = (1, 2, 0, -2) no espaço R^4 com o produto interno euclidiano. Queremos decompor esse vetor em duas partes: uma parte que está dentro do subespaço W gerado pelos vetores v1 = (1, 1, 1, 1) e v2 = (1, 1, -1, -1), chamada de w1, e outra parte que está no complemento ortogonal de W, chamado de w2. Para isso, vamos precisar entender como calcular projeções de vetores em subespaços e utilizar o conceito de complemento ortogonal.

Passo 2

Primeiro, precisamos verificar se os vetores que geram W, ou seja, v1 e v2, são linearmente independentes para garantir que eles realmente formam uma base para W. Se forem independentes, podemos usar o processo de ortogonalização de Gram-Schmidt para simplificar os cálculos.
Vamos calcular o determinante da matriz formada por v1 e v2 para ver se são linearmente independentes. Como estamos trabalhando em R^4, podemos observar que v1 e v2 não são múltiplos um do outro, então eles são linearmente independentes e formam uma base para W.

Passo 3

Agora, para encontrar a projeção de x em W, que será nosso vetor w1, utilizamos a fórmula da projeção em subespaço. A projeção de x em W é dada por:
w1 = ProjW(x) = ( x cdot v1v1 cdot v1 ) v1 + ( x cdot v2v2 cdot v2 ) v2
Vamos calcular cada uma dessas partes passo a passo.

Passo 4

Primeiro, calculemos os produtos internos:
v1 cdot v1 = 1^2 + 1^2 + 1^2 + 1^2 = 4
v2 cdot v2 = 1^2 + 1^2 + (-1)^2 + (-1)^2 = 4
x cdot v1 = 1 cdot 1 + 2 cdot 1 + 0 cdot 1 + (-2) cdot 1 = 1 + 2 + 0 - 2 = 1
x cdot v2 = 1 cdot 1 + 2 cdot 1 + 0 cdot (-1) + (-2) cdot (-1) = 1 + 2 + 0 + 2 = 5

Passo 5

Agora, substituímos esses valores na fórmula da projeção:
w1 = ( 14 ) v1 + ( 54 ) v2
Vamos multiplicar cada coeficiente pelos respectivos vetores:
( 14 ) v1 = ( 14, 14, 14, 14 )
( 54 ) v2 = ( 54, 54, -54, -54 )

Passo 6

Somando esses dois vetores, obtemos w1:
w1 = ( 14 + 54, 14 + 54, 14 - 54, 14 - 54 ) = ( 64, 64, -44, -44 ) = ( 32, 32, -1, -1 )

Passo 7

Agora que temos w1, podemos encontrar w2 usando a relação x = w1 + w2. Basta subtrair w1 de x:
w2 = x - w1 = ( 1 - 32, 2 - 32, 0 - (-1), -2 - (-1) ) = ( -12, 12, 1, -1 )

Resposta

Os vetores que satisfazem x = w1 + w2 são:
w1 = ( 32, 32, -1, -1 ) em W
w2 = ( -12, 12, 1, -1 ) em W^perp

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