Seja um vetor de munido com o produto interno euclidiano, e um subespaço gerado pelos vetores e . Determine os vetores em e em tais que .

Passo 1

Vamos lá! Temos um vetor no espaço com o produto interno euclidiano. Queremos decompor esse vetor em duas partes: uma parte que está dentro do subespaço gerado pelos vetores e , chamada de , e outra parte que está no complemento ortogonal de , chamado de . Para isso, vamos precisar entender como calcular projeções de vetores em subespaços e utilizar o conceito de complemento ortogonal.

Passo 2

Primeiro, precisamos verificar se os vetores que geram , ou seja, e , são linearmente independentes para garantir que eles realmente formam uma base para . Se forem independentes, podemos usar o processo de ortogonalização de Gram-Schmidt para simplificar os cálculos.
Vamos calcular o determinante da matriz formada por e para ver se são linearmente independentes. Como estamos trabalhando em , podemos observar que e não são múltiplos um do outro, então eles são linearmente independentes e formam uma base para .

Passo 3

Agora, para encontrar a projeção de em , que será nosso vetor , utilizamos a fórmula da projeção em subespaço. A projeção de em é dada por:
Vamos calcular cada uma dessas partes passo a passo.

Passo 4

Primeiro, calculemos os produtos internos:

Passo 5

Agora, substituímos esses valores na fórmula da projeção:
Vamos multiplicar cada coeficiente pelos respectivos vetores:

Passo 6

Somando esses dois vetores, obtemos :

Passo 7

Agora que temos , podemos encontrar usando a relação . Basta subtrair de :

Resposta

Os vetores que satisfazem são:

Exercícios relacionados

Sejam e . Seja o conjunto de todas as combinações lineares das colunas de .
Mostre que a segunda coluna de pertence a .
Sobre o modelo de crescimento de dois setores com capital humano, apresentado por Lucas (1988), responda:
Apresente o problema de otimização da família produtora representativa.
Considere um círculo de centro e raio . Dado um ponto definimos a potência de em relação a por
i) Considere dois círculos de centros e raios . Determine o lugar geométrico definido pela equação
Sendo e o ângulo entre os vetores , calcular