Seja
um vetor de
munido com o produto interno euclidiano, e
um subespaço gerado pelos vetores
e
. Determine os vetores
em
e
em
tais que
.
Passo 1
Vamos lá! Temos um vetor
no espaço
com o produto interno euclidiano. Queremos decompor esse vetor em duas partes: uma parte que está dentro do subespaço
gerado pelos vetores
e
, chamada de
, e outra parte que está no complemento ortogonal de
, chamado de
. Para isso, vamos precisar entender como calcular projeções de vetores em subespaços e utilizar o conceito de complemento ortogonal.
Passo 2
Primeiro, precisamos verificar se os vetores que geram
, ou seja,
e
, são linearmente independentes para garantir que eles realmente formam uma base para
. Se forem independentes, podemos usar o processo de ortogonalização de Gram-Schmidt para simplificar os cálculos.
Vamos calcular o determinante da matriz formada por
e
para ver se são linearmente independentes. Como estamos trabalhando em
, podemos observar que
e
não são múltiplos um do outro, então eles são linearmente independentes e formam uma base para
.
Passo 3
Agora, para encontrar a projeção de
em
, que será nosso vetor
, utilizamos a fórmula da projeção em subespaço. A projeção de
em
é dada por:
Vamos calcular cada uma dessas partes passo a passo.
Passo 4
Primeiro, calculemos os produtos internos:
Passo 5
Agora, substituímos esses valores na fórmula da projeção:
Vamos multiplicar cada coeficiente pelos respectivos vetores:
Passo 6
Somando esses dois vetores, obtemos
:
Passo 7
Agora que temos
, podemos encontrar
usando a relação
. Basta subtrair
de
:
Resposta
Os vetores que satisfazem
são: