Considere um círculo de raio r. Use o Cálculo e determine: A área do círculo

Passo 1

Vamos resolver um exercício que pede para encontrar a área de um círculo de raio usando Cálculo. Para isso, vamos precisar entender conceitos de integração, especificamente a integração em coordenadas polares, que é uma forma útil para calcular áreas de figuras circulares.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a área ( ) de uma figura pode ser calculada integrando sua função que descreve a borda. No caso de um círculo, a borda é descrita pela equação .

Passo 3

Para facilitar a integração, vamos usar coordenadas polares, onde qualquer ponto no plano é descrito por um ângulo ( ) e uma distância do centro ( ). Em coordenadas polares, a equação do círculo se simplifica para .

Passo 4

A fórmula para a área em coordenadas polares é dada por:
Aqui, é a distância radial e é o ângulo.

Passo 5

Vamos integrar em relação a primeiro:

Passo 6

Agora, integramos o resultado em relação a :

Resposta

A área do círculo é .

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