Determine lim x 0(1x^2-1x^2 sec (x))

Passo 1

Vamos entender o problema: queremos encontrar o limite quando se aproxima de 0 da expressão . Isso envolve o conteúdo de limites em cálculo, especialmente com funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar simplificar a expressão e usar a expansão em série de Taylor da função .

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão original. Sabemos que 1x^2 sec(x) = cos(x)x^2 , então podemos reescrever o segundo termo da seguinte forma:
1x^2 - cos(x)x^2 = 1 - cos(x)x^2
Substituindo na expressão original, temos:

Passo 3

Agora, precisamos calcular o limite de cos(x) = 1 - x^22 + x^424 - dots quando 1 - cos(x) = x^22 - x^424 + dots tende a 0. Para isso, vamos utilizar a expansão em série de Taylor da função 1 - cos(x)x^2 = x^22 - x^424 + dotsx^2 = 12 - x^224 + dots perto de 0:
Subtraindo de 1, temos:
Dividindo tudo por :

Passo 4

Finalmente, ao calcular o limite quando limx 0 ( 12 - x^224 + dots ) = 12 tende a 0, os termos com e superiores desaparecem, restando apenas:

Resposta

O limite é .

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