Determine 0 volume do sólido gerado pela rotação da função em tomo do eixo ox entre as retas e

Passo 1

Vamos resolver um exercício de cálculo onde precisamos encontrar o volume de um sólido gerado pela rotação da função em torno do eixo entre e . Para isso, vamos usar o método dos discos, que nos ajuda a calcular volumes de sólidos de revolução.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender a função que vamos girar. A função é uma raiz quadrada deslocada para baixo. Vamos identificar os limites de integração, que são e .

Passo 3

O método dos discos envolve integrar a área de discos infinitesimais ao longo do intervalo dado. A fórmula para o volume é:
Aqui, e , e .

Passo 4

Vamos substituir na fórmula:
Agora, precisamos expandir o quadrado para simplificar a integração.

Passo 5

Expansão do quadrado:
Então, a integral fica:

Passo 6

Vamos integrar termo a termo:
Calculando cada integral:
  1. Para , fazemos a substituição , então , e a integral se torna

Passo 7

Substituindo de volta:
Agora, vamos avaliar essa expressão de a .

Passo 8

Calculando no limite superior :
Calculando no limite inferior :

Passo 9

Agora, subtraímos os valores:
Multiplicando pelo :

Resposta

O volume do sólido gerado pela rotação da função em torno do eixo entre e é unidades cúbicas.

Exercícios relacionados

Determine
Considere um círculo de raio r. Use o Cálculo e determine: A área do círculo
Determine
Determine volume do sólido gerado pela rotação em torno do eixo ox, da região limitada pelo eixo ox e a curva