Determine 0 volume do sólido gerado pela rotação da função
em tomo do eixo ox entre as retas
e
Passo 1
Vamos resolver um exercício de cálculo onde precisamos encontrar o volume de um sólido gerado pela rotação da função
em torno do eixo
entre
e
. Para isso, vamos usar o método dos discos, que nos ajuda a calcular volumes de sólidos de revolução.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender a função que vamos girar. A função
é uma raiz quadrada deslocada para baixo. Vamos identificar os limites de integração, que são
e
.
Passo 3
O método dos discos envolve integrar a área de discos infinitesimais ao longo do intervalo dado. A fórmula para o volume
é:
Aqui,
e
, e
.
Passo 4
Vamos substituir
na fórmula:
Agora, precisamos expandir o quadrado para simplificar a integração.
Passo 5
Expansão do quadrado:
Então, a integral fica:
Passo 6
Vamos integrar termo a termo:
Calculando cada integral:
-
-
- Para
, fazemos a substituição , então , e a integral se torna
Passo 7
Substituindo de volta:
Agora, vamos avaliar essa expressão de
a
.
Passo 8
Calculando no limite superior
:
Calculando no limite inferior
:
Passo 9
Agora, subtraímos os valores:
Multiplicando pelo
:
Resposta
O volume do sólido gerado pela rotação da função
em torno do eixo
entre
e
é
unidades cúbicas.
Exercícios relacionados
Determine
Considere um círculo de raio r. Use o Cálculo e determine: A área do círculo
Determine
Determine
volume do sólido gerado pela rotação em torno do eixo ox, da região limitada pelo eixo ox e a curva