Considere um círculo de raio r. Use o Cálculo e determine: O comprimento da circunferência

Passo 1

Vamos resolver um exercício sobre o comprimento da circunferência de um círculo com raio usando Cálculo. Para isso, vamos precisar de conceitos de derivadas e integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos descrever o círculo usando coordenadas paramétricas. Para um círculo de raio , podemos usar as seguintes equações:
onde varia de a .

Passo 3

Para encontrar o comprimento da circunferência, usamos a fórmula do comprimento de arco para curvas parametrizadas:
No nosso caso, e .

Passo 4

Vamos calcular as derivadas de e :

Passo 5

Substituindo essas derivadas na fórmula do comprimento de arco:
Simplificando dentro da raiz:
Sabemos que , então:

Passo 6

Agora, é fácil integrar:

Resposta

O comprimento da circunferência é .

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