Considere um círculo de raio r. Use o Cálculo e determine: O comprimento da circunferência
Passo 1
Vamos resolver um exercício sobre o comprimento da circunferência de um círculo com raio
usando Cálculo. Para isso, vamos precisar de conceitos de derivadas e integrais.
Passo 2
Primeiro, vamos descrever o círculo usando coordenadas paramétricas. Para um círculo de raio
, podemos usar as seguintes equações:
onde
varia de
a
.
Passo 3
Para encontrar o comprimento da circunferência, usamos a fórmula do comprimento de arco para curvas parametrizadas:
No nosso caso,
e
.
Passo 4
Vamos calcular as derivadas de
e
:
Passo 5
Substituindo essas derivadas na fórmula do comprimento de arco:
Simplificando dentro da raiz:
Sabemos que
, então:
Passo 6
Agora, é fácil integrar:
Resposta
O comprimento da circunferência é
.