Dada a função , faça o que se pede: Esboce 0 gráfico de indicando os interceptos de e seus extremos

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a função e precisamos esboçar o gráfico dela, indicando onde ela cruza os eixos (interceptos) e onde ela tem pontos de máximo ou mínimo (extremos). Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre funções exponenciais e derivadas para encontrar os extremos.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os interceptos da função. Os interceptos são os pontos onde o gráfico da função cruza os eixos e .
Para encontrar o intercepto y, basta calcular :
Então, o intercepto y está no ponto .
Para encontrar os interceptos x, procuramos os valores de que fazem :
Sabemos que a função exponencial nunca é zero para nenhum valor real de . Portanto, não existem interceptos x.

Passo 3

Agora, vamos encontrar os extremos da função, ou seja, os pontos onde a função atinge seu valor máximo ou mínimo. Para isso, precisamos calcular a derivada de e encontrar onde ela é igual a zero.
Primeiro, vamos encontrar a derivada de :
A derivada de em relação a é . Aqui, , então . Portanto:
Agora, igualamos a derivada a zero para encontrar os pontos críticos:
A função exponencial nunca é zero, então temos:

Passo 4

Encontramos que é um ponto crítico. Para determinar se é um ponto de máximo ou mínimo, podemos analisar a concavidade da função ou observar o comportamento da derivada em torno desse ponto.
Sabemos que é sempre positivo e a derivada muda de positiva para negativa quando passa de negativo para positivo. Isso indica que é um ponto de máximo.
O valor máximo da função é:

Resposta

O gráfico da função tem um intercepto y no ponto , não possui interceptos x e apresenta um ponto de máximo em . O esboço do gráfico é uma curva simétrica em relação ao eixo y, atingindo seu ponto mais alto em e aproximando-se de zero conforme vai para mais ou menos infinito.

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