Dada a função
, faça o que se pede: Esboce 0 gráfico de
indicando os interceptos de
e seus extremos
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a função
e precisamos esboçar o gráfico dela, indicando onde ela cruza os eixos (interceptos) e onde ela tem pontos de máximo ou mínimo (extremos). Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre funções exponenciais e derivadas para encontrar os extremos.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os interceptos da função. Os interceptos são os pontos onde o gráfico da função cruza os eixos
e
.
Para encontrar o intercepto y, basta calcular
:
Então, o intercepto y está no ponto
.
Para encontrar os interceptos x, procuramos os valores de
que fazem
:
Sabemos que a função exponencial nunca é zero para nenhum valor real de
. Portanto, não existem interceptos x.
Passo 3
Agora, vamos encontrar os extremos da função, ou seja, os pontos onde a função atinge seu valor máximo ou mínimo. Para isso, precisamos calcular a derivada de
e encontrar onde ela é igual a zero.
Primeiro, vamos encontrar a derivada de
:
A derivada de
em relação a
é
. Aqui,
, então
. Portanto:
Agora, igualamos a derivada a zero para encontrar os pontos críticos:
A função exponencial
nunca é zero, então temos:
Passo 4
Encontramos que
é um ponto crítico. Para determinar se é um ponto de máximo ou mínimo, podemos analisar a concavidade da função ou observar o comportamento da derivada em torno desse ponto.
Sabemos que
é sempre positivo e a derivada
muda de positiva para negativa quando
passa de negativo para positivo. Isso indica que
é um ponto de máximo.
O valor máximo da função é:
Resposta
O gráfico da função
tem um intercepto y no ponto
, não possui interceptos x e apresenta um ponto de máximo em
. O esboço do gráfico é uma curva simétrica em relação ao eixo y, atingindo seu ponto mais alto em
e aproximando-se de zero conforme
vai para mais ou menos infinito.
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