Determine

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente calcular o limite quando se aproxima de pela esquerda da expressão . Isso envolve conceitos de limites e funções trigonométricas, especialmente a função secante. Para resolver, vamos precisar entender como a secante se comporta próximo de certos ângulos e aplicar as propriedades dos limites.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a secante está relacionada ao cosseno. A função secante é definida como:
Então, é:
Da mesma forma:
Nossa expressão original fica:

Passo 3

Agora, vamos analisar o comportamento de quando se aproxima de pela esquerda. Sabemos que:
E, perto de , o cosseno se aproxima de zero. Logo, também se aproxima de zero.

Passo 4

Vamos verificar o que acontece com quando está perto de :
Sabemos que:
Então, também se aproxima de zero quando se aproxima de . Portanto, também se aproxima de zero.

Passo 5

Agora, temos uma expressão do tipo , que é indeterminada. Para resolver isso, podemos aplicar a regra de L’Hôpital, que diz que se o limite de for ou , então podemos derivar o numerador e o denominador separadamente.
Vamos derivar:
Aplicando a regra de L’Hôpital:
Agora, precisamos avaliar esse novo limite. Novamente, como e , substituindo:
Então, temos:
Como ainda está indeterminado, aplicamos a regra de L’Hôpital novamente.
Derivando de novo:
Agora, o limite fica:
Substituindo :
Então:

Resposta

O limite é igual a 3.

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