Determine lim x pi^-2 sec ^2(x)sec ^2(3 x)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente calcular o limite quando se aproxima de pela esquerda da expressão . Isso envolve conceitos de limites e funções trigonométricas, especialmente a função secante. Para resolver, vamos precisar entender como a secante se comporta próximo de certos ângulos e aplicar as propriedades dos limites.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a secante está relacionada ao cosseno. A função secante é definida como:
sec(x) = 1cos(x)
Então, sec^2(x) = (1cos(x))^2 = 1cos^2(x) é:
sec^2(3x) = 1cos^2(3x)
Da mesma forma:
sec^2(x)sec^2(3x) = 1cos^2(x)1cos^2(3x) = cos^2(3x)cos^2(x)
Nossa expressão original fica:

Passo 3

Agora, vamos analisar o comportamento de cos(pi2) = 0 quando se aproxima de pela esquerda. Sabemos que:
E, perto de , o cosseno se aproxima de zero. Logo, também se aproxima de zero.

Passo 4

Vamos verificar o que acontece com 3x 3 cdot pi2 = 3pi2 quando cos(3pi2) = 0 está perto de :
Sabemos que:
Então, também se aproxima de zero quando se aproxima de . Portanto, também se aproxima de zero.

Passo 5

Agora, temos uma expressão do tipo f(x) = cos^2(3x) Rightarrow f'(x) = 2cos(3x)(-3sin(3x)) = -6cos(3x)sin(3x) , que é indeterminada. Para resolver isso, podemos aplicar a regra de L’Hôpital, que diz que se o limite de g(x) = cos^2(x) Rightarrow g'(x) = 2cos(x)(- sin(x)) = -2cos(x)sin(x) for limx pi2^- cos^2(3x)cos^2(x) = limx pi2^- -6cos(3x)sin(3x)-2cos(x)sin(x) = limx pi2^- 6cos(3x)sin(3x)2cos(x)sin(x) = 3 cdot limx pi2^- cos(3x)sin(3x)cos(x)sin(x) ou cos(3x) cos(3pi2) = 0 , então podemos derivar o numerador e o denominador separadamente.
Vamos derivar:
sin(3x) sin(3pi2) = -1
cos(x) 0
Aplicando a regra de L’Hôpital:
sin(x) 1
Agora, precisamos avaliar esse novo limite. Novamente, como cos(3x)sin(3x)cos(x)sin(x) 0 cdot (-1)0 cdot 1 = 00 e f'(x) = ddx[cos(3x)sin(3x)] = -3sin(3x)sin(3x) + 3cos(3x)cos(3x) = 3cos(6x) , substituindo:
g'(x) = ddx[cos(x)sin(x)] = -sin(x)sin(x) + cos(x)cos(x) = cos(2x)
limx pi2^- 3cos(6x)cos(2x)
6x = 3pi Rightarrow cos(3pi) = -1
2x = pi Rightarrow cos(pi) = -1
Então, temos:
3 cdot (-1)-1 = 3
Como ainda está indeterminado, aplicamos a regra de L’Hôpital novamente.
Derivando de novo:
Agora, o limite fica:
Substituindo :
Então:

Resposta

O limite é igual a 3.

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