Determine
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente calcular o limite quando
se aproxima de
pela esquerda da expressão
. Isso envolve conceitos de limites e funções trigonométricas, especialmente a função secante. Para resolver, vamos precisar entender como a secante se comporta próximo de certos ângulos e aplicar as propriedades dos limites.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a secante está relacionada ao cosseno. A função secante é definida como:
Então,
é:
Da mesma forma:
Nossa expressão original fica:
Passo 3
Agora, vamos analisar o comportamento de
quando
se aproxima de
pela esquerda. Sabemos que:
E, perto de
, o cosseno se aproxima de zero. Logo,
também se aproxima de zero.
Passo 4
Vamos verificar o que acontece com
quando
está perto de
:
Sabemos que:
Então,
também se aproxima de zero quando
se aproxima de
. Portanto,
também se aproxima de zero.
Passo 5
Agora, temos uma expressão do tipo
, que é indeterminada. Para resolver isso, podemos aplicar a regra de L’Hôpital, que diz que se o limite de
for
ou
, então podemos derivar o numerador e o denominador separadamente.
Vamos derivar:
Aplicando a regra de L’Hôpital:
Agora, precisamos avaliar esse novo limite. Novamente, como
e
, substituindo:
Então, temos:
Como ainda está indeterminado, aplicamos a regra de L’Hôpital novamente.
Derivando de novo:
Agora, o limite fica:
Substituindo
:
Então:
Resposta
O limite é igual a 3.
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