Determine volume do sólido gerado pela rotação em torno do eixo ox, da região limitada pelo eixo ox e a curva

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo: precisamos calcular o volume do sólido que é formado ao girar a área limitada pelo eixo (eixo x) e a curva em torno do próprio eixo . Para isso, vamos usar o método dos discos, que envolve integração.

Passo 2

O método dos discos nos dá a fórmula para o volume quando giramos uma curva em torno do eixo :
Aqui, é a função que define a curva, e representa a área de um disco infinitesimal.

Passo 3

Primeiro, precisamos determinar os limites de integração e . A função nunca toca o eixo , então a região que vamos girar se estende de até .

Passo 4

Como a função é simétrica em relação ao eixo y (isto é, ), podemos simplificar a integração calculando de até e depois multiplicando o resultado por 2:

Passo 5

Agora, precisamos resolver a integral . Sabemos que:
No nosso caso, , então a integral fica:

Passo 6

Aplicando os limites de integração de a :
Quando tende a :
Quando :
Portanto:

Passo 7

Finalmente, multiplicamos o resultado da integral por para obter o volume:

Resposta

O volume do sólido gerado é .

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