Determine
volume do sólido gerado pela rotação em torno do eixo ox, da região limitada pelo eixo ox e a curva
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo: precisamos calcular o volume do sólido que é formado ao girar a área limitada pelo eixo
(eixo x) e a curva
em torno do próprio eixo
. Para isso, vamos usar o método dos discos, que envolve integração.
Passo 2
O método dos discos nos dá a fórmula para o volume
quando giramos uma curva em torno do eixo
:
Aqui,
é a função que define a curva, e
representa a área de um disco infinitesimal.
Passo 3
Primeiro, precisamos determinar os limites de integração
e
. A função
nunca toca o eixo
, então a região que vamos girar se estende de
até
.
Passo 4
Como a função
é simétrica em relação ao eixo y (isto é,
), podemos simplificar a integração calculando de
até
e depois multiplicando o resultado por 2:
Passo 5
Agora, precisamos resolver a integral
. Sabemos que:
No nosso caso,
, então a integral fica:
Passo 6
Aplicando os limites de integração de
a
:
Quando
tende a
:
Quando
:
Portanto:
Passo 7
Finalmente, multiplicamos o resultado da integral por
para obter o volume:
Resposta
O volume do sólido gerado é
.
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e
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, faça o que se pede: Determine os extremos relativos e pontos de inflexão de
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