Dada a função , faça o que se pede: Determine os extremos relativos e pontos de inflexão de , se existirem

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar os extremos relativos e os pontos de inflexão da função .
Matéria envolvida: Cálculo Diferencial, especificamente derivadas para identificar máximos e mínimos (extremos relativos) e pontos de inflexão.
O que vamos precisar:
  • Calcular a primeira derivada para encontrar onde a inclinação é zero (candidatos a extremos).
  • Calcular a segunda derivada para determinar a concavidade e identificar pontos de inflexão.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada de . A derivada nos ajuda a entender como a função está mudando em relação a .
A função é . Para derivar isso, usamos a regra da cadeia.

Passo 3

Agora, vamos encontrar os pontos críticos, onde a primeira derivada é igual a zero ou não existe. Esses pontos são potenciais candidatos a serem extremos relativos.
Para que esse produto seja zero, precisamos que um dos fatores seja zero.
  • nunca é zero para nenhum valor real de .
Então, o único ponto crítico é .

Passo 4

Vamos determinar se esse ponto crítico é um máximo, mínimo ou nenhum dos dois. Para isso, usamos a segunda derivada.
Primeiro, calculamos a segunda derivada de .

Passo 5

Agora, avaliamos a segunda derivada no ponto crítico :
Como , isso indica que a concavidade da função é para baixo nesse ponto, ou seja, é um ponto de máximo relativo.

Passo 6

Vamos agora encontrar os pontos de inflexão, que são os pontos onde a concavidade da função muda, ou seja, onde a segunda derivada muda de sinal.
Para isso, resolvemos :
Como nunca é zero, temos:
Então, os pontos de inflexão estão em e .

Resposta

A função possui:
  • Um extremo relativo de máximo em .
  • Pontos de inflexão em e .

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