Dada a função
, faça o que se pede: Determine os extremos relativos e pontos de inflexão de
, se existirem
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar os extremos relativos e os pontos de inflexão da função
.
Matéria envolvida: Cálculo Diferencial, especificamente derivadas para identificar máximos e mínimos (extremos relativos) e pontos de inflexão.
O que vamos precisar:
- Calcular a primeira derivada para encontrar onde a inclinação é zero (candidatos a extremos).
- Calcular a segunda derivada para determinar a concavidade e identificar pontos de inflexão.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada de
. A derivada nos ajuda a entender como a função está mudando em relação a
.
A função é
. Para derivar isso, usamos a regra da cadeia.
Passo 3
Agora, vamos encontrar os pontos críticos, onde a primeira derivada é igual a zero ou não existe. Esses pontos são potenciais candidatos a serem extremos relativos.
Para que esse produto seja zero, precisamos que um dos fatores seja zero.
-
⟹ -
nunca é zero para nenhum valor real de .
Então, o único ponto crítico é
.
Passo 4
Vamos determinar se esse ponto crítico
é um máximo, mínimo ou nenhum dos dois. Para isso, usamos a segunda derivada.
Primeiro, calculamos a segunda derivada de
.
Passo 5
Agora, avaliamos a segunda derivada no ponto crítico
:
Como
, isso indica que a concavidade da função é para baixo nesse ponto, ou seja,
é um ponto de máximo relativo.
Passo 6
Vamos agora encontrar os pontos de inflexão, que são os pontos onde a concavidade da função muda, ou seja, onde a segunda derivada muda de sinal.
Para isso, resolvemos
:
Como
nunca é zero, temos:
Então, os pontos de inflexão estão em
e
.
Resposta
A função
possui:
- Um extremo relativo de máximo em
. - Pontos de inflexão em
e .
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