Considere a circunferência de centro
e raio
, dada por
Tome
dada por
. Reparametrize
utilizando
. Qual a relação entre os vetores velocidade das duas parametrizações?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma circunferência com centro na origem
e raio
, que está parametrizada por , onde
varia de
a
. Nosso objetivo é reparametrizar essa circunferência usando a função
. Além disso, queremos descobrir como os vetores velocidade das duas parametrizações estão relacionados. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre parametrização de curvas e vetores velocidade.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa reparametrizar uma curva. Reparametrizar uma curva é basicamente mudar a maneira como percorremos a curva sem alterar a forma dela. Isso é feito substituindo o parâmetro original por uma nova função de parâmetro.
No nosso caso, a nova parametrização será
. Vamos calcular isso substituindo
na expressão de
:
Passo 3
Agora, vamos simplificar essas expressões usando propriedades trigonométricas. Sabemos que:
Portanto:
Passo 4
Então, a nova parametrização da circunferência é . Agora, vamos encontrar os vetores velocidade das duas parametrizações.
O vetor velocidade é a derivada da parametrização em relação ao parâmetro
. Vamos calcular a derivada de
e a derivada de
.
Para
:
Para
:
Primeiro, aplicamos a regra da cadeia para derivar:
Passo 5
Agora, vamos comparar os dois vetores velocidade:
- Vetor velocidade da parametrização original:
- Vetor velocidade da nova parametrização:
Observamos que o segundo componente do vetor velocidade mudou de
para
, ou seja, o vetor velocidade da nova parametrização é o vetor velocidade original multiplicado por
no segundo componente.
Resposta
Os vetores velocidade das duas parametrizações são iguais em módulo, mas têm o segundo componente com sinal oposto. Em termos matemáticos:
Exercícios relacionados
Encontre os pontos da curva onde a tangente é horizontal:
(b)
(b)
Determine as derivadas parciais de primeira ordem da função.
Determine as derivadas parciais de primeira ordem da função.
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e ângulo de elevação de
de um ponto 10 m acima do nível do solo. Onde o projétil vai atingir o solo e com que velocidade escalar?