Considere a circunferência de centro e raio , dada por
Tome dada por . Reparametrize utilizando . Qual a relação entre os vetores velocidade das duas parametrizações?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma circunferência com centro na origem e raio , que está parametrizada por , onde varia de a . Nosso objetivo é reparametrizar essa circunferência usando a função . Além disso, queremos descobrir como os vetores velocidade das duas parametrizações estão relacionados. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre parametrização de curvas e vetores velocidade.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa reparametrizar uma curva. Reparametrizar uma curva é basicamente mudar a maneira como percorremos a curva sem alterar a forma dela. Isso é feito substituindo o parâmetro original por uma nova função de parâmetro.
No nosso caso, a nova parametrização será . Vamos calcular isso substituindo na expressão de :

Passo 3

Agora, vamos simplificar essas expressões usando propriedades trigonométricas. Sabemos que:
Portanto:

Passo 4

Então, a nova parametrização da circunferência é . Agora, vamos encontrar os vetores velocidade das duas parametrizações.
O vetor velocidade é a derivada da parametrização em relação ao parâmetro . Vamos calcular a derivada de e a derivada de .
Para :
Para :
Primeiro, aplicamos a regra da cadeia para derivar:

Passo 5

Agora, vamos comparar os dois vetores velocidade:
  • Vetor velocidade da parametrização original:
  • Vetor velocidade da nova parametrização:
Observamos que o segundo componente do vetor velocidade mudou de para , ou seja, o vetor velocidade da nova parametrização é o vetor velocidade original multiplicado por no segundo componente.

Resposta

Os vetores velocidade das duas parametrizações são iguais em módulo, mas têm o segundo componente com sinal oposto. Em termos matemáticos:

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(b)
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