Determine as derivadas parciais de primeira ordem da função.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função
e precisa encontrar as derivadas parciais de primeira ordem em relação a
e a
. Isso está dentro do conteúdo de cálculo diferencial, especificamente derivadas parciais, que são úteis quando a função depende de mais de uma variável.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
. Para fazer isso, tratamos
como uma constante, já que estamos derivando em relação a
.
Passo 3
A função
pode ser escrita como
. Ao derivar com respeito a
, usamos a regra do produto e a regra da cadeia. Mas como
é constante em relação a
, a derivada fica mais simples.
Passo 4
Então, derivando
em relação a
:
Agora, usamos a regra da cadeia para derivar a exponencial.
Passo 5
A derivada de
em relação a
é
, onde
. Então:
Passo 6
Substituindo de volta na expressão da derivada parcial:
Passo 7
Agora, vamos encontrar a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
. Aqui, tratamos
como uma constante.
Passo 8
A função
também precisa usar a regra do produto, já que
e
são funções de
.
Passo 9
Aplicando a regra do produto:
Sabemos que
e, novamente, usamos a regra da cadeia para a segunda parte.
Passo 10
Derivando a exponencial:
Então, substituindo na expressão anterior:
Resposta
As derivadas parciais de primeira ordem da função
são:
e
Exercícios relacionados
Suponha que
e
sejam curvas diferenciáveis,
e
uma função real diferenciável. Então,
(f)
(f)
Encontre os pontos da curva onde a tangente é horizontal:
(b)
(b)
Considere a circunferência de centro
e raio
, dada por
Tome
dada por
. Reparametrize
utilizando
. Qual a relação entre os vetores velocidade das duas parametrizações?