Determine as derivadas parciais de primeira ordem da função.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função e precisa encontrar as derivadas parciais de primeira ordem em relação a e a . Isso está dentro do conteúdo de cálculo diferencial, especificamente derivadas parciais, que são úteis quando a função depende de mais de uma variável.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de em relação a , ou seja, . Para fazer isso, tratamos como uma constante, já que estamos derivando em relação a .

Passo 3

A função pode ser escrita como . Ao derivar com respeito a , usamos a regra do produto e a regra da cadeia. Mas como é constante em relação a , a derivada fica mais simples.

Passo 4

Então, derivando em relação a :
Agora, usamos a regra da cadeia para derivar a exponencial.

Passo 5

A derivada de em relação a é , onde . Então:

Passo 6

Substituindo de volta na expressão da derivada parcial:

Passo 7

Agora, vamos encontrar a derivada parcial de em relação a , ou seja, . Aqui, tratamos como uma constante.

Passo 8

A função também precisa usar a regra do produto, já que e são funções de .

Passo 9

Aplicando a regra do produto:
Sabemos que e, novamente, usamos a regra da cadeia para a segunda parte.

Passo 10

Derivando a exponencial:
Então, substituindo na expressão anterior:

Resposta

As derivadas parciais de primeira ordem da função são:
e

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