Encontre os pontos da curva onde a tangente é horizontal:
(b) gamma(t) = (e^(sen(t)), e^(cos(t))), t pertence a R

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar os pontos da curva onde a tangente é horizontal. A curva é dada por . Aqui, estamos trabalhando com curvas parametrizadas e vamos precisar usar derivadas para encontrar onde a inclinação da tangente é zero, ou seja, onde a tangente é horizontal.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para uma curva parametrizada , a inclinação da tangente no ponto correspondente a t é dada pela derivada . Para encontrar essa derivada, usamos a regra da cadeia: .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas e . A função x(t) é , então:
A função y(t) é , então:

Passo 4

Agora, vamos encontrar usando as derivadas que calculamos:

Passo 5

Queremos que a tangente seja horizontal, ou seja, . Então:
A exponencial nunca é zero, então para a equação ser igual a zero, tan t deve ser zero.

Passo 6

Sabemos que quando t é um múltiplo de pi, ou seja, , onde k é inteiro.

Passo 7

Agora, vamos encontrar os pontos gamma(t) correspondentes a esses valores de t:
Como e , temos:

Resposta

Os pontos da curva onde a tangente é horizontal são para todo inteiro k.

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