Encontre os pontos da curva onde a tangente é horizontal:
(b)

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar os pontos da curva onde a tangente é horizontal. A curva é dada por . Aqui, estamos trabalhando com curvas parametrizadas e vamos precisar usar derivadas para encontrar onde a inclinação da tangente é zero, ou seja, onde a tangente é horizontal.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para uma curva parametrizada , a inclinação da tangente no ponto correspondente a é dada pela derivada . Para encontrar essa derivada, usamos a regra da cadeia: .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas e . A função é , então:
A função é , então:

Passo 4

Agora, vamos encontrar usando as derivadas que calculamos:

Passo 5

Queremos que a tangente seja horizontal, ou seja, . Então:
A exponencial nunca é zero, então para a equação ser igual a zero, deve ser zero.

Passo 6

Sabemos que quando é um múltiplo de , ou seja, , onde é inteiro.

Passo 7

Agora, vamos encontrar os pontos correspondentes a esses valores de :
Como e , temos:

Resposta

Os pontos da curva onde a tangente é horizontal são para todo inteiro .

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Determine as derivadas parciais de primeira ordem da função.
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(f)
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Tome dada por . Reparametrize utilizando . Qual a relação entre os vetores velocidade das duas parametrizações?
Determine as derivadas parciais de primeira ordem da função.