Um projétil é lançado com velocidade de disparo de e ângulo de elevação de de um ponto 10 m acima do nível do solo. Onde o projétil vai atingir o solo e com que velocidade escalar?

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem um projétil lançado com uma velocidade inicial de e um ângulo de , partindo de um ponto que está acima do chão. A matéria que vamos usar aqui é a cinemática de lançamento oblíquo, que trata do movimento de projéteis. Precisamos calcular onde o projétil vai aterrissar (a distância horizontal) e com que velocidade ele vai bater no chão. Para isso, vamos precisar das equações do movimento uniformemente variado e desdobrá-las para as direções horizontal e vertical.

Passo 2

Primeiro, vamos decompor a velocidade inicial nas direções horizontal e vertical. Como o ângulo de lançamento é , as componentes da velocidade são iguais. Usamos as seguintes fórmulas:
Onde e . Como , temos:

Passo 3

Agora, vamos determinar o tempo total de voo do projétil até aterrissar. Para isso, usamos a equação do movimento vertical:
Onde:
  • é a altura no tempo ,
  • é a altura inicial,
  • é a aceleração da gravidade.
Queremos encontrar o tempo quando o projétil atinge o chão, ou seja, quando . Então:
Resolvendo essa equação quadrática para :
Usando a fórmula quadrática:
Calculando:
Desconsideramos a solução negativa, então:

Passo 4

Com o tempo total de voo, podemos agora calcular a distância horizontal que o projétil percorre. Como a velocidade horizontal é constante (não há aceleração na direção horizontal), usamos:
Substituindo os valores:

Passo 5

Por fim, vamos calcular a velocidade com que o projétil atinge o solo. Precisamos encontrar as componentes horizontal e vertical da velocidade no instante de aterrissar. A componente horizontal permanece a mesma:
A componente vertical no tempo é:
O sinal negativo indica que a velocidade está para baixo. Agora, a velocidade escalar total é:

Resposta

O projétil vai atingir o solo a aproximadamente de distância do ponto de lançamento e a velocidade escalar com que atinge o solo é de cerca de .

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