Um projétil é lançado com velocidade de disparo de
e ângulo de elevação de
de um ponto 10 m acima do nível do solo. Onde o projétil vai atingir o solo e com que velocidade escalar?
Passo 1
Então, vamos lá! A gente tem um projétil lançado com uma velocidade inicial de
e um ângulo de
, partindo de um ponto que está
acima do chão. A matéria que vamos usar aqui é a cinemática de lançamento oblíquo, que trata do movimento de projéteis. Precisamos calcular onde o projétil vai aterrissar (a distância horizontal) e com que velocidade ele vai bater no chão. Para isso, vamos precisar das equações do movimento uniformemente variado e desdobrá-las para as direções horizontal e vertical.
Passo 2
Primeiro, vamos decompor a velocidade inicial nas direções horizontal e vertical. Como o ângulo de lançamento é
, as componentes da velocidade são iguais. Usamos as seguintes fórmulas:
Onde
e
. Como
, temos:
Passo 3
Agora, vamos determinar o tempo total de voo do projétil até aterrissar. Para isso, usamos a equação do movimento vertical:
Onde:
-
é a altura no tempo , -
é a altura inicial, -
é a aceleração da gravidade.
Queremos encontrar o tempo
quando o projétil atinge o chão, ou seja, quando
. Então:
Resolvendo essa equação quadrática para
:
Usando a fórmula quadrática:
Calculando:
Desconsideramos a solução negativa, então:
Passo 4
Com o tempo total de voo, podemos agora calcular a distância horizontal que o projétil percorre. Como a velocidade horizontal é constante (não há aceleração na direção horizontal), usamos:
Substituindo os valores:
Passo 5
Por fim, vamos calcular a velocidade com que o projétil atinge o solo. Precisamos encontrar as componentes horizontal e vertical da velocidade no instante de aterrissar. A componente horizontal permanece a mesma:
A componente vertical no tempo
é:
O sinal negativo indica que a velocidade está para baixo. Agora, a velocidade escalar total é:
Resposta
O projétil vai atingir o solo a aproximadamente
de distância do ponto de lançamento e a velocidade escalar com que atinge o solo é de cerca de
.
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Determine as derivadas parciais de primeira ordem da função.
Considere a circunferência de centro
e raio
, dada por
Tome
dada por
. Reparametrize
utilizando
. Qual a relação entre os vetores velocidade das duas parametrizações?
Suponha que
e
sejam curvas diferenciáveis,
e
uma função real diferenciável. Então,
©
©
Suponha que
. Encontre uma expressão para
(dica: lembre-se que
).