Considere a circunferência com equação geral x^2+y^2+4 x-6 y+9=0 e a reta y=2 x-5. Determine a posição relativa entre a reta e a circunferência.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá a equação geral de uma circunferência: e a equação de uma reta: . Nosso objetivo é descobrir como essa reta está localizada em relação à circunferência. Para resolver isso, vamos precisar entender como identificar o centro e o raio da circunferência e como calcular a distância entre esse centro e a reta.

Passo 2

Primeiro, vamos colocar a equação da circunferência na forma padrão para identificar o centro (x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2 e o raio x^2 + 4x + y^2 - 6y + 9 = 0 . A forma padrão da circunferência é:
(x + 2)^2 - 4 + (y - 3)^2 - 9 + 9 = 0
Vamos completar o quadrado para (x + 2)^2 + (y - 3)^2 - 4 = 0 implies (x + 2)^2 + (y - 3)^2 = 4 e :
Para completar o quadrado:
  1. Para :
    • Pegue o coeficiente de , que é 4, divida por 2, obtendo 2, e depois eleve ao quadrado, ficando 4.
    • Então, .
  2. Para :
    • Pegue o coeficiente de , que é -6, divida por 2, obtendo -3, e depois eleve ao quadrado, ficando 9.
    • Então, .
Substituindo de volta na equação:
Simplificando:
Agora, identificamos:
  • Centro
  • Raio

Passo 3

Agora que temos o centro da circunferência, vamos calcular a distância entre esse ponto d = |Ax0 + By0 + C|raizA^2 + B^2 e a reta y = 2x - 5 implies 2x - y - 5 = 0 . A fórmula para a distância d = |2(-2) + (-1)(3) - 5|raiz2^2 + (-1)^2 = |-4 - 3 - 5|raiz4 + 1 = |-12|raiz5 = 12raiz5 = 12raiz55 de um ponto a uma reta é:
Primeiro, vamos reescrever a equação da reta na forma geral:
Então, , , e .
Aplicando a fórmula da distância:

Passo 4

Agora, vamos comparar a distância d = 12raiz55 approx 12 times 2,2365 approx 26,8325 approx 5,366 com o raio 5,366 > 2 da circunferência:
  • Se : A reta não toca a circunferência (fora).
  • Se : A reta é tangente à circunferência.
  • Se : A reta corta a circunferência em dois pontos.
Calculando:
Comparando com :

Resposta

A reta está localizada fora da circunferência , ou seja, não toca a circunferência.

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