Considere a circunferência com equação geral
e a reta
. Determine a posição relativa entre a reta e a circunferência.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá a equação geral de uma circunferência:
e a equação de uma reta:
. Nosso objetivo é descobrir como essa reta está localizada em relação à circunferência. Para resolver isso, vamos precisar entender como identificar o centro e o raio da circunferência e como calcular a distância entre esse centro e a reta.
Passo 2
Primeiro, vamos colocar a equação da circunferência na forma padrão para identificar o centro
e o raio
. A forma padrão da circunferência é:
Vamos completar o quadrado para
e
:
Para completar o quadrado:
-
Para
: - Pegue o coeficiente de
, que é 4, divida por 2, obtendo 2, e depois eleve ao quadrado, ficando 4. - Então,
.
- Pegue o coeficiente de
-
Para
: - Pegue o coeficiente de
, que é -6, divida por 2, obtendo -3, e depois eleve ao quadrado, ficando 9. - Então,
.
- Pegue o coeficiente de
Substituindo de volta na equação:
Simplificando:
Agora, identificamos:
- Centro
- Raio
Passo 3
Agora que temos o centro da circunferência, vamos calcular a distância entre esse ponto
e a reta
. A fórmula para a distância
de um ponto
a uma reta
é:
Primeiro, vamos reescrever a equação da reta na forma geral:
Então,
,
, e
.
Aplicando a fórmula da distância:
Passo 4
Agora, vamos comparar a distância
com o raio
da circunferência:
- Se
: A reta não toca a circunferência (fora). - Se
: A reta é tangente à circunferência. - Se
: A reta corta a circunferência em dois pontos.
Calculando:
Comparando com
:
Resposta
A reta
está localizada fora da circunferência
, ou seja, não toca a circunferência.
Exercícios relacionados
Sabendo-se que
e
, calcule:
;
Encontre a equação reduzida e geral da circunferência de centro:
e raio 3 .
Considere os espaços vetoriais
dados abaixo, com as operaçōes usuais de adiçāo de vetores e de multiplicaçāo por escalar. Para cada caso abaixo, responda se
é subespaço vetorial de
e prove que sua resposta está correta:
(b)
(b)
Considere o conjunto
. Prove que -1 e 1 são o ínfimo e o supremo desse conjunto, respectivamente, e que eles não pertencem ao conjunto.