Considere a circunferência com equação geral e a reta . Determine a posição relativa entre a reta e a circunferência.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá a equação geral de uma circunferência: e a equação de uma reta: . Nosso objetivo é descobrir como essa reta está localizada em relação à circunferência. Para resolver isso, vamos precisar entender como identificar o centro e o raio da circunferência e como calcular a distância entre esse centro e a reta.

Passo 2

Primeiro, vamos colocar a equação da circunferência na forma padrão para identificar o centro e o raio . A forma padrão da circunferência é:
Vamos completar o quadrado para e :
Para completar o quadrado:
  1. Para :
    • Pegue o coeficiente de , que é 4, divida por 2, obtendo 2, e depois eleve ao quadrado, ficando 4.
    • Então, .
  2. Para :
    • Pegue o coeficiente de , que é -6, divida por 2, obtendo -3, e depois eleve ao quadrado, ficando 9.
    • Então, .
Substituindo de volta na equação:
Simplificando:
Agora, identificamos:
  • Centro
  • Raio

Passo 3

Agora que temos o centro da circunferência, vamos calcular a distância entre esse ponto e a reta . A fórmula para a distância de um ponto a uma reta é:
Primeiro, vamos reescrever a equação da reta na forma geral:
Então, , , e .
Aplicando a fórmula da distância:

Passo 4

Agora, vamos comparar a distância com o raio da circunferência:
  • Se : A reta não toca a circunferência (fora).
  • Se : A reta é tangente à circunferência.
  • Se : A reta corta a circunferência em dois pontos.
Calculando:
Comparando com :

Resposta

A reta está localizada fora da circunferência , ou seja, não toca a circunferência.

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(b)
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