Considere os espaços vetoriais V dados abaixo, com as operaçōes usuais de adiçāo de vetores e de multiplicaçāo por escalar. Para cada caso abaixo, responda se W é subespaço vetorial de V e prove que sua resposta está correta:
(b) V=M2 times 2(R), W=[cc-a & 0 a & a^2] ; a in R

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado está falando sobre espaços vetoriais, especificamente sobre se um conjunto W = -a & 0 a & a^2 ; ; ; a in R é um subespaço de um espaço vetorial maior . Aqui, é o conjunto de todas as matrizes com números reais, denotado por . O conjunto é definido como todas as matrizes da forma:
Para verificar se é um subespaço de , precisamos confirmar três coisas básicas de subespaço vetorial:
  1. Existência do vetor zero: O vetor zero de está em ?
  2. Fechamento sob adição: A soma de dois vetores em também está em ?
  3. Fechamento sob multiplicação por escalar: O produto de um vetor em por um escalar resulta em um vetor que também está em ?
Vamos verificar cada uma dessas condições passo a passo.

Passo 2

Verificando a existência do vetor zero:
O vetor zero no espaço 0V = 0 & 0 0 & 0 é a matriz onde todos os elementos são zero:
-a & 0 a & a^2 = 0 & 0 0 & 0
Para que -a = 0 Rightarrow a = 0 contenha o vetor zero, deve existir um valor de a = 0 tal que:
a^2 = 0 Rightarrow a = 0
Isso implica que:
Como satisfaz todas as equações, o vetor zero está em .

Passo 3

Verificando o fechamento sob adição:
Vamos pegar dois vetores quaisquer em A = -a & 0 a & a^2 , B = -b & 0 b & b^2 onde a, b in R . Seja:
A + B = -a + (-b) & 0 + 0 a + b & a^2 + b^2 = -(a + b) & 0 a + b & a^2 + b^2
A soma desses vetores é:
-(a + b) & 0 a + b & a^2 + b^2 = -c & 0 c & c^2
Para c = a + b estar em c^2 = a^2 + b^2 , deve existir um número real (a + b)^2 = a^2 + b^2 Rightarrow a^2 + 2ab + b^2 = a^2 + b^2 tal que:
2ab = 0 Rightarrow ab = 0
Isso leva às equações:
Substituindo na segunda equação:
Isso significa que para a soma estar em , ou deve ser zero. Porém, nem sempre isso acontece para quaisquer . Portanto, não é fechado sob adição.

Passo 4

Verificando o fechamento sob multiplicação por escalar:
Mesmo que já tenhamos visto que -a & 0 a & a^2 não é fechado sob adição, vamos verificar a multiplicação por um escalar para completar a análise.
Seja kA = -ka & 0 ka & k a^2 e -ka & 0 ka & k a^2 = -c & 0 c & c^2 . O produto de c = ka por c^2 = k a^2 é:
(k a)^2 = k a^2 Rightarrow k^2 a^2 = k a^2
Para que k^2 = k Rightarrow k(k - 1) = 0 Rightarrow k = 0 ou k = 1 esteja em , deve existir tal que:
Isso implica:
Substituindo na segunda equação:
Se , então:
Isso significa que apenas para ou o produto está em . Portanto, não é fechado sob multiplicação por escalar para quaisquer .

Resposta

Concluímos que não é um subespaço vetorial de , pois não satisfaz as condições de fechamento sob adição e multiplicação por escalar.

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