Considere os espaços vetoriais
dados abaixo, com as operaçōes usuais de adiçāo de vetores e de multiplicaçāo por escalar. Para cada caso abaixo, responda se
é subespaço vetorial de
e prove que sua resposta está correta:
(b)
(b)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado está falando sobre espaços vetoriais, especificamente sobre se um conjunto
é um subespaço de um espaço vetorial maior
. Aqui,
é o conjunto de todas as matrizes
com números reais, denotado por
. O conjunto
é definido como todas as matrizes da forma:
Para verificar se
é um subespaço de
, precisamos confirmar três coisas básicas de subespaço vetorial:
- Existência do vetor zero: O vetor zero de
está em ? - Fechamento sob adição: A soma de dois vetores em
também está em ? - Fechamento sob multiplicação por escalar: O produto de um vetor em
por um escalar resulta em um vetor que também está em ?
Vamos verificar cada uma dessas condições passo a passo.
Passo 2
Verificando a existência do vetor zero:
O vetor zero no espaço
é a matriz onde todos os elementos são zero:
Para que
contenha o vetor zero, deve existir um valor de
tal que:
Isso implica que:
Como
satisfaz todas as equações, o vetor zero está em
.
Passo 3
Verificando o fechamento sob adição:
Vamos pegar dois vetores quaisquer em
. Seja:
A soma desses vetores é:
Para
estar em
, deve existir um número real
tal que:
Isso leva às equações:
Substituindo
na segunda equação:
Isso significa que para a soma
estar em
,
ou
deve ser zero. Porém, nem sempre isso acontece para quaisquer
. Portanto,
não é fechado sob adição.
Passo 4
Verificando o fechamento sob multiplicação por escalar:
Mesmo que já tenhamos visto que
não é fechado sob adição, vamos verificar a multiplicação por um escalar para completar a análise.
Seja
e
. O produto de
por
é:
Para que
esteja em
, deve existir
tal que:
Isso implica:
Substituindo
na segunda equação:
Se
, então:
Isso significa que apenas para
ou
o produto
está em
. Portanto,
não é fechado sob multiplicação por escalar para quaisquer
.
Resposta
Concluímos que
não é um subespaço vetorial de
, pois não satisfaz as condições de fechamento sob adição e multiplicação por escalar.
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e
, calcule:
;
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