Considere os espaços vetoriais dados abaixo, com as operaçōes usuais de adiçāo de vetores e de multiplicaçāo por escalar. Para cada caso abaixo, responda se é subespaço vetorial de e prove que sua resposta está correta:
(b)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado está falando sobre espaços vetoriais, especificamente sobre se um conjunto é um subespaço de um espaço vetorial maior . Aqui, é o conjunto de todas as matrizes com números reais, denotado por . O conjunto é definido como todas as matrizes da forma:
Para verificar se é um subespaço de , precisamos confirmar três coisas básicas de subespaço vetorial:
  1. Existência do vetor zero: O vetor zero de está em ?
  2. Fechamento sob adição: A soma de dois vetores em também está em ?
  3. Fechamento sob multiplicação por escalar: O produto de um vetor em por um escalar resulta em um vetor que também está em ?
Vamos verificar cada uma dessas condições passo a passo.

Passo 2

Verificando a existência do vetor zero:
O vetor zero no espaço é a matriz onde todos os elementos são zero:
Para que contenha o vetor zero, deve existir um valor de tal que:
Isso implica que:
Como satisfaz todas as equações, o vetor zero está em .

Passo 3

Verificando o fechamento sob adição:
Vamos pegar dois vetores quaisquer em . Seja:
A soma desses vetores é:
Para estar em , deve existir um número real tal que:
Isso leva às equações:
Substituindo na segunda equação:
Isso significa que para a soma estar em , ou deve ser zero. Porém, nem sempre isso acontece para quaisquer . Portanto, não é fechado sob adição.

Passo 4

Verificando o fechamento sob multiplicação por escalar:
Mesmo que já tenhamos visto que não é fechado sob adição, vamos verificar a multiplicação por um escalar para completar a análise.
Seja e . O produto de por é:
Para que esteja em , deve existir tal que:
Isso implica:
Substituindo na segunda equação:
Se , então:
Isso significa que apenas para ou o produto está em . Portanto, não é fechado sob multiplicação por escalar para quaisquer .

Resposta

Concluímos que não é um subespaço vetorial de , pois não satisfaz as condições de fechamento sob adição e multiplicação por escalar.

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