Considere o conjunto
. Prove que -1 e 1 são o ínfimo e o supremo desse conjunto, respectivamente, e que eles não pertencem ao conjunto.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício nos pede para analisar o conjunto
. Nosso objetivo é provar que -1 é o ínfimo e 1 é o supremo desse conjunto, além de mostrar que esses valores não pertencem realmente ao conjunto. Para isso, vamos usar conceitos de limites e propriedades de supremum e ínfimo na matemática.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é supremo e ínfimo. O supremo de um conjunto é o menor número que é maior ou igual a todos os elementos do conjunto. Já o ínfimo é o maior número que é menor ou igual a todos os elementos do conjunto.
No nosso caso, queremos mostrar que 1 é o supremo de
e -1 é o ínfimo de
.
Passo 3
Vamos começar provando que 1 é um limite superior para
. Isto é, nenhum elemento de
é maior que 1.
Observe que para qualquer
, temos que
e
. Assim,
Portanto, 1 é de fato um limite superior para
.
Passo 4
Agora, precisamos mostrar que não existe um número menor que 1 que também seja um limite superior. Isso garante que 1 seja o menor dos limites superiores, ou seja, o supremo.
Para isso, consideremos uma sequência onde
e
cresce. Por exemplo, quando
tende ao infinito,
tende a 0. Assim,
Isso mostra que podemos chegar arbitrariamente próximo de 1, mas sem jamais ultrapassá-lo. Logo, 1 é o menor limite superior, confirmando que é o supremo de
.
Passo 5
Agora, vamos provar que -1 é o ínfimo de
. Primeiro, mostramos que nenhum elemento de
é menor que -1.
Note que
e
para qualquer
. Assim,
Portanto, -1 é um limite inferior para
.
Passo 6
Agora, precisamos mostrar que não existe um número maior que -1 que também seja um limite inferior. Isso garante que -1 seja o maior dos limites inferiores, ou seja, o ínfimo.
Considere uma sequência onde
e
cresce. Por exemplo, quando
tende ao infinito,
tende a 0. Assim,
Isso mostra que podemos chegar arbitrariamente próximo de -1, mas sem jamais ultrapassá-lo. Logo, -1 é o maior limite inferior, confirmando que é o ínfimo de
.
Passo 7
Por fim, precisamos verificar que 1 e -1 não pertencem ao conjunto
.
Para 1 pertencer a
, deveria existir
tais que:
Rearranjando, temos:
Mas
e
, então
, o que é impossível. Portanto, 1 não está em
.
Para -1 pertencer a
, deveria existir
tais que:
Rearranjando, temos:
Mas
, então
, enquanto
. Isso também é impossível, então -1 não está em
.
Resposta
Portanto, demonstramos que 1 é o supremo e -1 é o ínfimo do conjunto
, e que nenhum desses valores pertence ao conjunto.
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(b)
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e a reta
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