Considere o conjunto 1m-1n: m, n in N. Prove que -1 e 1 são o ínfimo e o supremo desse conjunto, respectivamente, e que eles não pertencem ao conjunto.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício nos pede para analisar o conjunto . Nosso objetivo é provar que -1 é o ínfimo e 1 é o supremo desse conjunto, além de mostrar que esses valores não pertencem realmente ao conjunto. Para isso, vamos usar conceitos de limites e propriedades de supremum e ínfimo na matemática.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é supremo e ínfimo. O supremo de um conjunto é o menor número que é maior ou igual a todos os elementos do conjunto. Já o ínfimo é o maior número que é menor ou igual a todos os elementos do conjunto.
No nosso caso, queremos mostrar que 1 é o supremo de e -1 é o ínfimo de .

Passo 3

Vamos começar provando que 1 é um limite superior para 1m - 1n <= 1 - 0 = 1 . Isto é, nenhum elemento de é maior que 1.
Observe que para qualquer , temos que e . Assim,
Portanto, 1 é de fato um limite superior para .

Passo 4

Agora, precisamos mostrar que não existe um número menor que 1 que também seja um limite superior. Isso garante que 1 seja o menor dos limites superiores, ou seja, o supremo.
Para isso, consideremos uma sequência onde 11 - 1n to 1 - 0 = 1 e cresce. Por exemplo, quando tende ao infinito, tende a 0. Assim,
Isso mostra que podemos chegar arbitrariamente próximo de 1, mas sem jamais ultrapassá-lo. Logo, 1 é o menor limite superior, confirmando que é o supremo de .

Passo 5

Agora, vamos provar que -1 é o ínfimo de 1m - 1n >= 0 - 1 = -1 . Primeiro, mostramos que nenhum elemento de é menor que -1.
Note que e para qualquer . Assim,
Portanto, -1 é um limite inferior para .

Passo 6

Agora, precisamos mostrar que não existe um número maior que -1 que também seja um limite inferior. Isso garante que -1 seja o maior dos limites inferiores, ou seja, o ínfimo.
Considere uma sequência onde 1m - 11 to 0 - 1 = -1 e cresce. Por exemplo, quando tende ao infinito, tende a 0. Assim,
Isso mostra que podemos chegar arbitrariamente próximo de -1, mas sem jamais ultrapassá-lo. Logo, -1 é o maior limite inferior, confirmando que é o ínfimo de .

Passo 7

Por fim, precisamos verificar que 1 e -1 não pertencem ao conjunto 1m - 1n = 1 .
Para 1 pertencer a 1m = 1 + 1n , deveria existir 1m - 1n = -1 tais que:
1m = 1n - 1
Rearranjando, temos:
Mas e , então , o que é impossível. Portanto, 1 não está em .
Para -1 pertencer a , deveria existir tais que:
Rearranjando, temos:
Mas , então , enquanto . Isso também é impossível, então -1 não está em .

Resposta

Portanto, demonstramos que 1 é o supremo e -1 é o ínfimo do conjunto , e que nenhum desses valores pertence ao conjunto.

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