Encontre a equação reduzida e geral da circunferência de centro: C=(1,-1) e raio 3 .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação reduzida e a equação geral da circunferência que tem como centro e raio 3. Para isso, vamos usar as fórmulas das equações de uma circunferência.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação reduzida da circunferência. A fórmula para a equação reduzida é:
(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2
Aqui, (x - 1)^2 + (y - (-1))^2 = 3^2 é o centro da circunferência e (x - 1)^2 + (y + 1)^2 = 9 é o raio. No nosso caso, , e . Substituindo esses valores na fórmula, temos:
Simplificando os sinais, fica:

Passo 3

Agora, vamos transformar a equação reduzida na equação geral. Para isso, precisamos expandir os termos:
(x - 1)^2 + (y + 1)^2 = 9
Primeiro, expandimos x^2 - 2x + 1 :
y^2 + 2y + 1
E depois, expandimos x^2 - 2x + 1 + y^2 + 2y + 1 = 9 :
x^2 + y^2 - 2x + 2y + 2 = 9
Substituindo de volta na equação:
x^2 + y^2 - 2x + 2y + 2 - 9 = 0
Juntando os termos semelhantes:
x^2 + y^2 - 2x + 2y - 7 = 0
Para chegar na equação geral , subtraímos 9 de ambos os lados:
Simplificando:

Resposta

A equação reduzida da circunferência é:
(x - 1)^2 + (y + 1)^2 = 9
E a equação geral é:
x^2 + y^2 - 2x + 2y - 7 = 0

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