Sabendo-se que u=(1,0,2), v=(-2,-3,1) e w=(3,5,-3), calcule: u times(v times w);

Passo 1

Beleza, galera! Vamos resolver esse exercício juntos. A gente tem três vetores no espaço tridimensional:
  • u = (1, 0, 2)
  • v = (-2, -3, 1)
  • w = (3, 5, -3)
O que a gente precisa fazer é calcular o produto vetorial de u com o produto vetorial de v e w, ou seja, u times (v times w). Para isso, vamos usar a definição de produto vetorial e fazer isso passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o produto vetorial entre v e w, que é v times w. O produto vetorial de dois vetores a = (a1, a2, a3) e b = (b1, b2, b3) é dado por:
a times b = (a2 b3 - a3 b2, a3 b1 - a1 b3, a1 b2 - a2 b1)
Aplicando isso a v e w:
v times w = ( (-3)(-3) - (1)(5), (1)(3) - (-2)(-3), (-2)(5) - (-3)(3) )
Calculando cada componente:
  • Primeira componente: (-3) times (-3) - 1 times 5 = 9 - 5 = 4
  • Segunda componente: 1 times 3 - (-2) times (-3) = 3 - 6 = -3
  • Terceira componente: (-2) times 5 - (-3) times 3 = -10 + 9 = -1
Então,
v times w = (4, -3, -1)

Passo 3

Agora que temos v times w = (4, -3, -1), vamos calcular o produto vetorial de u com esse resultado, ou seja, u times (v times w).
Usando a mesma fórmula do produto vetorial:
u times (v times w) = ( u2 c3 - u3 c2, u3 c1 - u1 c3, u1 c2 - u2 c1 )
Onde c = v times w = (4, -3, -1). Substituindo os valores:
u times c = ( 0 times (-1) - 2 times (-3), 2 times 4 - 1 times (-1), 1 times (-3) - 0 times 4 )
Calculando cada componente:
  • Primeira componente: 0 times (-1) - 2 times (-3) = 0 + 6 = 6
  • Segunda componente: 2 times 4 - 1 times (-1) = 8 + 1 = 9
  • Terceira componente: 1 times (-3) - 0 times 4 = -3 - 0 = -3
Então,
u times (v times w) = (6, 9, -3)

Resposta

O resultado de u times (v times w) é (6, 9, -3).

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