Considere as circunferências com equações gerais e . Determine a posição relativa entre as duas circunferências.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para descobrir como duas circunferências estão posicionadas uma em relação à outra. A matéria aqui é Geometria Analítica, especificamente sobre circunferências. Para resolver, a gente vai precisar encontrar os centros e os raios das duas circunferências e depois comparar a distância entre os centros com os raios.

Passo 2

Primeiro, vamos colocar as equações das circunferências na forma padrão, que é , onde é o centro e é o raio. Para isso, precisamos completar o quadrado para as variáveis e .
Para a circunferência :
  • Agrupamos os termos de e :
  • Completamos o quadrado:
Então, o centro de é e o raio é .
Para a circunferência :
  • Agrupamos os termos de e :
  • Completamos o quadrado:
Então, o centro de é e o raio é .

Passo 3

Agora, vamos calcular a distância entre os centros das duas circunferências. Usamos a fórmula da distância entre dois pontos e :
Substituindo os valores dos centros:

Passo 4

Com a distância entre os centros e os raios das circunferências, vamos determinar a posição relativa delas. Existem alguns casos:
  1. Circunferências distintas sem pontos de interseção: se a distância entre os centros for maior que a soma dos raios.
  2. Circunferências tangentes externamente: se a distância entre os centros for igual à soma dos raios.
  3. Circunferências que se intersectam em dois pontos: se a distância entre os centros for menor que a soma dos raios, mas maior que a diferença entre eles.
  4. Circunferências tangentes internamente: se a distância entre os centros for igual à diferença dos raios.
  5. Uma circunferência contida na outra sem pontos de interseção: se a distância entre os centros for menor que a diferença dos raios.
Vamos calcular:
  • Soma dos raios:
  • Diferença dos raios:
  • Distância entre os centros:
Comparando:
  • (distância maior que a soma dos raios)

Resposta

As circunferências são distintas e não se intersectam, ou seja, estão separadas uma da outra.

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