Considere as circunferências com equações gerais C 1: x^2+y^2+6 x+8 y+4=0 e C 2: x^2+y^2-10 x+2 y+17=0. Determine a posição relativa entre as duas circunferências.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para descobrir como duas circunferências estão posicionadas uma em relação à outra. A matéria aqui é Geometria Analítica, especificamente sobre circunferências. Para resolver, a gente vai precisar encontrar os centros e os raios das duas circunferências e depois comparar a distância entre os centros com os raios.

Passo 2

Primeiro, vamos colocar as equações das circunferências na forma padrão, que é x^2 + 6x + y^2 + 8y = -4 , onde (x^2 + 6x + 9) + (y^2 + 8y + 16) = -4 + 9 + 16 é o centro e (x + 3)^2 + (y + 4)^2 = 21 é o raio. Para isso, precisamos completar o quadrado para as variáveis x^2 - 10x + y^2 + 2y = -17 e (x^2 - 10x + 25) + (y^2 + 2y + 1) = -17 + 25 + 1 .
Para a circunferência (x - 5)^2 + (y + 1)^2 = 9 :
  • Agrupamos os termos de e :
  • Completamos o quadrado:
Então, o centro de é e o raio é .
Para a circunferência :
  • Agrupamos os termos de e :
  • Completamos o quadrado:
Então, o centro de é e o raio é .

Passo 3

Agora, vamos calcular a distância entre os centros das duas circunferências. Usamos a fórmula da distância entre dois pontos d = raiz(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 e d = raiz(5 - (-3))^2 + (-1 - (-4))^2 = raiz(8)^2 + (3)^2 = raiz64 + 9 = raiz73 :
Substituindo os valores dos centros:

Passo 4

Com a distância entre os centros e os raios das circunferências, vamos determinar a posição relativa delas. Existem alguns casos:
  1. Circunferências distintas sem pontos de interseção: se a distância entre os centros for maior que a soma dos raios.
  2. Circunferências tangentes externamente: se a distância entre os centros for igual à soma dos raios.
  3. Circunferências que se intersectam em dois pontos: se a distância entre os centros for menor que a soma dos raios, mas maior que a diferença entre eles.
  4. Circunferências tangentes internamente: se a distância entre os centros for igual à diferença dos raios.
  5. Uma circunferência contida na outra sem pontos de interseção: se a distância entre os centros for menor que a diferença dos raios.
Vamos calcular:
  • Soma dos raios:
  • Diferença dos raios:
  • Distância entre os centros:
Comparando:
  • (distância maior que a soma dos raios)

Resposta

As circunferências são distintas e não se intersectam, ou seja, estão separadas uma da outra.

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