Considere os espaços vetoriais dados abaixo, com as operaçōes usuais de adiçào de vetores e de multiplicaçāo por escalar. Para cada caso abaixo, responda (justificando) se o subconjunto dado é LI (linearmente independente) ou LD (linearmente dependente).
Se for , obtenha uma base (prove) de que contenha .
Se for LD, obtenha uma base para (subespaço gerado por ), e responda se
(b)

Passo 1

Vamos resolver um exercício de Álgebra Linear para entender se um conjunto de vetores é linearmente independente (LI) ou linearmente dependente (LD). O conjunto que vamos analisar é no espaço vetorial . Para isso, precisaremos revisar os conceitos de combinação linear e dependência linear.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa um conjunto de vetores ser linearmente independente ou dependente. Vetores são linearmente independentes se nenhum vetor pode ser escrito como combinação linear dos outros. Se isso não for possível, os vetores são linearmente dependentes.

Passo 3

Para verificar se é LI ou LD, podemos montar uma matriz com os vetores de como colunas e calcular seu determinante. Se o determinante for diferente de zero, os vetores são LI; caso contrário, são LD.
Matriz :

Passo 4

Vamos calcular o determinante da matriz :

Passo 5

Como o determinante de é (diferente de zero), concluímos que os vetores em são linearmente independentes (LI).

Passo 6

Já que é LI e contém três vetores em , isso significa que é uma base para . Portanto, não precisamos adicionar mais vetores para formar uma base, pois já temos exatamente o necessário para gerar todo o espaço .

Resposta

O conjunto é linearmente independente (LI). Além disso, forma uma base para , já que contém três vetores LI que geram todo o espaço.

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