Determine as coordenadas do vetor v que é ortogonal aos vetores v1=(3,2,2) e a v2= (18,-22,-5), de modo que ang<=(v,(0,1,0)) seja obtuso e |v|=28.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as coordenadas de um vetor v que é ortogonal aos vetores v1=(3,2,2) e v2=(18,-22,-5). Além disso, o ângulo entre v e o vetor (0,1,0) tem que ser obtuso, e o comprimento de v precisa ser 28. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra vetorial como produto vetorial e propriedades de vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar um vetor que seja ortogonal tanto a v1 quanto a v2. Isso a gente consegue fazendo o produto vetorial entre v1 e v2. O produto vetorial de dois vetores resulta em um vetor que é perpendicular aos dois vetores originais.

Passo 3

Vamos calcular o produto vetorial v1 times v2:
v1 times v2 = i & j & k 3 & 2 & 2 18 & -22 & -5
Calculando o determinante:
i(2 cdot (-5) - 2 cdot (-22)) - j(3 cdot (-5) - 2 cdot 18) + k(3 cdot (-22) - 2 cdot 18)
Simplificando:
i(-10 + 44) - j(-15 - 36) + k(-66 - 36) = i(34) - j(-51) + k(-102)
Então, o vetor resultante é:
v1 times v2 = (34, 51, -102)

Passo 4

Agora, vamos calcular o módulo desse vetor para depois ajustar o comprimento para ser 28. O módulo de um vetor (a, b, c) é dado por:
|v| = raiza^2 + b^2 + c^2
Calculando:
|v1 times v2| = raiz34^2 + 51^2 + (-102)^2 = raiz1156 + 2601 + 10404 = raiz14161 = 119

Passo 5

Queremos que o vetor v tenha módulo 28. Para isso, vamos normalizar o vetor obtido e depois multiplicar pelo comprimento desejado. A normalização é feita dividindo cada componente pelo módulo.
v = 28119 cdot (34, 51, -102) = ( 34 cdot 28119, 51 cdot 28119, -102 cdot 28119 )
Simplificando as frações:
v = ( 952119, 1428119, -2856119 ) = (8, 12, -24)

Passo 6

Mas precisamos verificar se o ângulo entre v e (0,1,0) é obtuso. Para isso, o produto escalar entre v e (0,1,0) deve ser negativo.
Calculando o produto escalar:
v cdot (0,1,0) = 8 cdot 0 + 12 cdot 1 + (-24) cdot 0 = 12
Como 12 é positivo, o ângulo não é obtuso. Então, precisamos inverter a direção do vetor v para que o produto escalar seja negativo.
v = (-8, -12, 24)

Resposta

As coordenadas do vetor v são (-8, -12, 24).

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