Determine as coordenadas do vetor que é ortogonal aos vetores e a , de modo que seja obtuso e .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as coordenadas de um vetor que é ortogonal aos vetores e . Além disso, o ângulo entre e o vetor tem que ser obtuso, e o comprimento de precisa ser 28. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra vetorial como produto vetorial e propriedades de vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar um vetor que seja ortogonal tanto a quanto a . Isso a gente consegue fazendo o produto vetorial entre e . O produto vetorial de dois vetores resulta em um vetor que é perpendicular aos dois vetores originais.
Passo 3
Vamos calcular o produto vetorial :
Calculando o determinante:
Simplificando:
Então, o vetor resultante é:
Passo 4
Agora, vamos calcular o módulo desse vetor para depois ajustar o comprimento para ser 28. O módulo de um vetor é dado por:
Calculando:
Passo 5
Queremos que o vetor tenha módulo 28. Para isso, vamos normalizar o vetor obtido e depois multiplicar pelo comprimento desejado. A normalização é feita dividindo cada componente pelo módulo.
Simplificando as frações:
Passo 6
Mas precisamos verificar se o ângulo entre e é obtuso. Para isso, o produto escalar entre e deve ser negativo.
Calculando o produto escalar:
Como 12 é positivo, o ângulo não é obtuso. Então, precisamos inverter a direção do vetor para que o produto escalar seja negativo.