Considere as circunferências com equações gerais
e
. Determine a posição relativa entre as duas circunferências.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre circunferências! A gente tem duas equações de circunferências e precisa descobrir como elas estão posicionadas uma em relação à outra. Para isso, vamos precisar encontrar os centros e os raios de cada circunferência, além de calcular a distância entre esses centros.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o centro e o raio da circunferência
. A equação de
é:
Vamos completar o quadrado para reescrever essa equação na forma padrão
.
Agrupando os termos de
e
:
Agora, completamos o quadrado:
Então, o centro de
é
e o raio é
(já que
).
Passo 3
Agora, vamos fazer o mesmo para a circunferência
. A equação de
é:
Completemos o quadrado:
Agrupando os termos:
Completando o quadrado:
Então, o centro de
é
e o raio é
(já que
).
Passo 4
Agora, vamos calcular a distância
entre os centros das duas circunferências. Usamos a fórmula da distância entre dois pontos
e
:
Substituindo os valores:
Passo 5
Agora que temos a distância entre os centros e os raios das duas circunferências, vamos ver como elas estão posicionadas. Existem algumas possibilidades:
- Circunferências concêntricas: Mesmos centros.
- Circunferências disjuntas: A distância entre centros é maior que a soma dos raios.
- Circunferências tangentes externamente: A distância entre centros é igual à soma dos raios.
- Circunferências se intersectam: A distância está entre a soma e a diferença dos raios.
- Uma circunferência está dentro da outra sem tocar: A distância é menor que a diferença dos raios.
Vamos comparar
com os raios
e
.
- Soma dos raios:
- Diferença dos raios:
Observamos que:
Isso significa que a distância está entre a diferença e a soma dos raios, então as circunferências se intersectam.
Resposta
As circunferências
e
se intersectam.
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é subespaço vetorial de
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(b)
(b)
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(a)
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