Considere as circunferências com equações gerais C 1: x^2+y^2-6 x-8 y+9=0 e C 2: x^2+y^2-2 x-4 y+1=0. Determine a posição relativa entre as duas circunferências.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre circunferências! A gente tem duas equações de circunferências e precisa descobrir como elas estão posicionadas uma em relação à outra. Para isso, vamos precisar encontrar os centros e os raios de cada circunferência, além de calcular a distância entre esses centros.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o centro e o raio da circunferência x^2 + y^2 - 6x - 8y + 9 = 0 . A equação de (x^2 - 6x) + (y^2 - 8y) = -9 é:
x^2 - 6x + 9 + y^2 - 8y + 16 = -9 + 9 + 16
Vamos completar o quadrado para reescrever essa equação na forma padrão (x - 3)^2 + (y - 4)^2 = 16 .
Agrupando os termos de e :
Agora, completamos o quadrado:
Então, o centro de é e o raio é (já que ).

Passo 3

Agora, vamos fazer o mesmo para a circunferência x^2 + y^2 - 2x - 4y + 1 = 0 . A equação de (x^2 - 2x) + (y^2 - 4y) = -1 é:
x^2 - 2x + 1 + y^2 - 4y + 4 = -1 + 1 + 4
Completemos o quadrado:
Agrupando os termos:
(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 4
Completando o quadrado:
Então, o centro de é e o raio é (já que ).

Passo 4

Agora, vamos calcular a distância d = raiz(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 entre os centros das duas circunferências. Usamos a fórmula da distância entre dois pontos d = raiz(3 - 1)^2 + (4 - 2)^2 = raiz2^2 + 2^2 = raiz4 + 4 = raiz8 approx 2,83 e :
Substituindo os valores:

Passo 5

Agora que temos a distância entre os centros e os raios das duas circunferências, vamos ver como elas estão posicionadas. Existem algumas possibilidades:
  1. Circunferências concêntricas: Mesmos centros.
  2. Circunferências disjuntas: A distância entre centros é maior que a soma dos raios.
  3. Circunferências tangentes externamente: A distância entre centros é igual à soma dos raios.
  4. Circunferências se intersectam: A distância está entre a soma e a diferença dos raios.
  5. Uma circunferência está dentro da outra sem tocar: A distância é menor que a diferença dos raios.
Vamos comparar 2 < 2,83 < 6 com os raios e .
  • Soma dos raios:
  • Diferença dos raios:
Observamos que:
Isso significa que a distância está entre a diferença e a soma dos raios, então as circunferências se intersectam.

Resposta

As circunferências e se intersectam.

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