Considere as circunferências com equações gerais e . Determine a posição relativa entre as duas circunferências.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre circunferências! A gente tem duas equações de circunferências e precisa descobrir como elas estão posicionadas uma em relação à outra. Para isso, vamos precisar encontrar os centros e os raios de cada circunferência, além de calcular a distância entre esses centros.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o centro e o raio da circunferência . A equação de é:
Vamos completar o quadrado para reescrever essa equação na forma padrão .
Agrupando os termos de e :
Agora, completamos o quadrado:
Então, o centro de é e o raio é (já que ).

Passo 3

Agora, vamos fazer o mesmo para a circunferência . A equação de é:
Completemos o quadrado:
Agrupando os termos:
Completando o quadrado:
Então, o centro de é e o raio é (já que ).

Passo 4

Agora, vamos calcular a distância entre os centros das duas circunferências. Usamos a fórmula da distância entre dois pontos e :
Substituindo os valores:

Passo 5

Agora que temos a distância entre os centros e os raios das duas circunferências, vamos ver como elas estão posicionadas. Existem algumas possibilidades:
  1. Circunferências concêntricas: Mesmos centros.
  2. Circunferências disjuntas: A distância entre centros é maior que a soma dos raios.
  3. Circunferências tangentes externamente: A distância entre centros é igual à soma dos raios.
  4. Circunferências se intersectam: A distância está entre a soma e a diferença dos raios.
  5. Uma circunferência está dentro da outra sem tocar: A distância é menor que a diferença dos raios.
Vamos comparar com os raios e .
  • Soma dos raios:
  • Diferença dos raios:
Observamos que:
Isso significa que a distância está entre a diferença e a soma dos raios, então as circunferências se intersectam.

Resposta

As circunferências e se intersectam.

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Efetuar