Considere os espaços vetoriais
dados abaixo, com as operaçōes usuais de adiçāo de vetores e de multiplicaçāo por escalar. Para cada caso abaixo, responda se
é subespaço vetorial de
e prove que sua resposta está correta:
(a)
(a)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício de álgebra linear que está pedindo para verificar se um conjunto
é um subespaço de um espaço vetorial
. No caso,
é o espaço dos polinômios de grau no máximo 3 com coeficientes reais, representado por
. O conjunto
é formado por polinômios da forma
, onde
e
são números reais. Para resolver isso, vamos lembrar o que é um subespaço vetorial e quais condições precisamos verificar.
Passo 2
Primeiro, vamos recapitular o que significa
ser um subespaço de
. Para
ser um subespaço, ele precisa satisfazer três condições:
- Contém o vetor zero: O polinômio zero deve estar em
. - Fechado sob adição: Se pegarmos dois polinômios em
e somarmos, o resultado também deve estar em . - Fechado sob multiplicação por escalar: Se multiplicarmos um polinômio de
por qualquer número real, o resultado também deve estar em .
Vamos verificar cada uma dessas condições passo a passo.
Passo 3
1. Verificar se o vetor zero está em
:
O vetor zero no espaço
é o polinômio que tem todos os coeficientes iguais a zero, ou seja,
.
Vamos ver se conseguimos encontrar valores de
e
que fazem
.
Isso acontece quando:
Da última equação,
implica que
. Substituindo na segunda equação,
. E na primeira,
confirma que é válido. Então, o vetor zero está em
.
Passo 4
2. Verificar se
é fechado sob adição:
Vamos pegar dois polinômios quaisquer em
:
Agora, somamos esses dois polinômios:
Se
for fechado sob adição, esse polinômio resultante deve estar na forma
para algum
e
reais.
Podemos definir:
Então, o polinômio somado fica:
Que está na forma exigida para
. Logo,
é fechado sob adição.
Passo 5
3. Verificar se
é fechado sob multiplicação por escalar:
Vamos pegar um polinômio qualquer em
:
E multiplicar por um escalar
:
Queremos que
também esteja em
, ou seja, que possa ser escrito na forma
para algum
e
.
Podemos definir:
Então, substituindo:
Está claro que
está na forma requerida para
. Assim,
é fechado sob multiplicação por escalar.
Resposta
Sim,
é um subespaço vetorial de
, pois satisfaz as três condições necessárias: contém o vetor zero, é fechado sob adição e é fechado sob multiplicação por escalar.
Exercícios relacionados
Considere as circunferências com equações gerais
e
. Determine a posição relativa entre as duas circunferências.
Considere o conjunto
. Prove que -1 e 1 são o ínfimo e o supremo desse conjunto, respectivamente, e que eles não pertencem ao conjunto.
Efetuar
A molécula de metano
possui um átomo de carbono e 4 de hidrogênio. Suponha que os átomos de hidrogênio estejam localizados nos pontos do espaço tridimensional
e
enquanto que o átomo de carbono esteja no ponto
.
Encontre o cosseno do ângulo entre dois segmentos de reta que partem do átomo de carbono e se direcionam a dois átomos de hidrogênio diferentes. Lembre-se de que o ângulo entre dois vetores não nulos do
(
e
) é definido por:
,
onde é o produto interno entre
e
e
é a norma do vetor
qualquer.
Encontre o cosseno do ângulo entre dois segmentos de reta que partem do átomo de carbono e se direcionam a dois átomos de hidrogênio diferentes. Lembre-se de que o ângulo
onde