Considere os espaços vetoriais dados abaixo, com as operaçōes usuais de adiçāo de vetores e de multiplicaçāo por escalar. Para cada caso abaixo, responda se é subespaço vetorial de e prove que sua resposta está correta:
(a)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício de álgebra linear que está pedindo para verificar se um conjunto é um subespaço de um espaço vetorial . No caso, é o espaço dos polinômios de grau no máximo 3 com coeficientes reais, representado por . O conjunto é formado por polinômios da forma , onde e são números reais. Para resolver isso, vamos lembrar o que é um subespaço vetorial e quais condições precisamos verificar.

Passo 2

Primeiro, vamos recapitular o que significa ser um subespaço de . Para ser um subespaço, ele precisa satisfazer três condições:
  1. Contém o vetor zero: O polinômio zero deve estar em .
  2. Fechado sob adição: Se pegarmos dois polinômios em e somarmos, o resultado também deve estar em .
  3. Fechado sob multiplicação por escalar: Se multiplicarmos um polinômio de por qualquer número real, o resultado também deve estar em .
Vamos verificar cada uma dessas condições passo a passo.

Passo 3

1. Verificar se o vetor zero está em :
O vetor zero no espaço é o polinômio que tem todos os coeficientes iguais a zero, ou seja, .
Vamos ver se conseguimos encontrar valores de e que fazem .
Isso acontece quando:
Da última equação, implica que . Substituindo na segunda equação, . E na primeira, confirma que é válido. Então, o vetor zero está em .

Passo 4

2. Verificar se é fechado sob adição:
Vamos pegar dois polinômios quaisquer em :
Agora, somamos esses dois polinômios:
Se for fechado sob adição, esse polinômio resultante deve estar na forma para algum e reais.
Podemos definir:
Então, o polinômio somado fica:
Que está na forma exigida para . Logo, é fechado sob adição.

Passo 5

3. Verificar se é fechado sob multiplicação por escalar:
Vamos pegar um polinômio qualquer em :
E multiplicar por um escalar :
Queremos que também esteja em , ou seja, que possa ser escrito na forma para algum e .
Podemos definir:
Então, substituindo:
Está claro que está na forma requerida para . Assim, é fechado sob multiplicação por escalar.

Resposta

Sim, é um subespaço vetorial de , pois satisfaz as três condições necessárias: contém o vetor zero, é fechado sob adição e é fechado sob multiplicação por escalar.

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Efetuar
A molécula de metano possui um átomo de carbono e 4 de hidrogênio. Suponha que os átomos de hidrogênio estejam localizados nos pontos do espaço tridimensional e enquanto que o átomo de carbono esteja no ponto .
Encontre o cosseno do ângulo entre dois segmentos de reta que partem do átomo de carbono e se direcionam a dois átomos de hidrogênio diferentes. Lembre-se de que o ângulo entre dois vetores não nulos do ( e ) é definido por:
,
onde é o produto interno entre e e é a norma do vetor qualquer.