Considere os espaços vetoriais V dados abaixo, com as operaçōes usuais de adiçāo de vetores e de multiplicaçāo por escalar. Para cada caso abaixo, responda se W é subespaço vetorial de V e prove que sua resposta está correta:
(a) V=P3(R), W=(a+b) x^3+a x^2-2 b ; a, b in R

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício de álgebra linear que está pedindo para verificar se um conjunto é um subespaço de um espaço vetorial . No caso, é o espaço dos polinômios de grau no máximo 3 com coeficientes reais, representado por . O conjunto é formado por polinômios da forma , onde e são números reais. Para resolver isso, vamos lembrar o que é um subespaço vetorial e quais condições precisamos verificar.

Passo 2

Primeiro, vamos recapitular o que significa ser um subespaço de . Para ser um subespaço, ele precisa satisfazer três condições:
  1. Contém o vetor zero: O polinômio zero deve estar em .
  2. Fechado sob adição: Se pegarmos dois polinômios em e somarmos, o resultado também deve estar em .
  3. Fechado sob multiplicação por escalar: Se multiplicarmos um polinômio de por qualquer número real, o resultado também deve estar em .
Vamos verificar cada uma dessas condições passo a passo.

Passo 3

1. Verificar se o vetor zero está em a + b = 0 a = 0 -2b = 0 :
O vetor zero no espaço é o polinômio que tem todos os coeficientes iguais a zero, ou seja, .
Vamos ver se conseguimos encontrar valores de e que fazem .
Isso acontece quando:
Da última equação, implica que . Substituindo na segunda equação, . E na primeira, confirma que é válido. Então, o vetor zero está em .

Passo 4

2. Verificar se P1(x) = (a1 + b1)x^3 + a1x^2 - 2b1 P2(x) = (a2 + b2)x^3 + a2x^2 - 2b2 é fechado sob adição:
Vamos pegar dois polinômios quaisquer em P1(x) + P2(x) = [(a1 + b1) + (a2 + b2)]x^3 + (a1 + a2)x^2 - 2(b1 + b2) :
a' = a1 + a2 b' = b1 + b2
Agora, somamos esses dois polinômios:
(a' + b')x^3 + a'x^2 - 2b'
Se for fechado sob adição, esse polinômio resultante deve estar na forma para algum e reais.
Podemos definir:
Então, o polinômio somado fica:
Que está na forma exigida para . Logo, é fechado sob adição.

Passo 5

3. Verificar se P(x) = (a + b)x^3 + ax^2 - 2b é fechado sob multiplicação por escalar:
Vamos pegar um polinômio qualquer em kP(x) = k(a + b)x^3 + k a x^2 - 2k b :
a' = k a b' = k b
E multiplicar por um escalar k(a + b)x^3 + (k a)x^2 - 2(k b) = (a' + b')x^3 + a'x^2 - 2b' :
Queremos que também esteja em , ou seja, que possa ser escrito na forma para algum e .
Podemos definir:
Então, substituindo:
Está claro que está na forma requerida para . Assim, é fechado sob multiplicação por escalar.

Resposta

Sim, é um subespaço vetorial de , pois satisfaz as três condições necessárias: contém o vetor zero, é fechado sob adição e é fechado sob multiplicação por escalar.

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