Determine o vetor código de um código cíclico (7,4), para mensagem
, utilizando o polinômio gerador
.
Passo 1
Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A questão pede para determinarmos o vetor código de um código cíclico de comprimento 7 e dimensão 4, ou seja, um código (7,4). A mensagem que queremos codificar é
. Para isso, vamos usar o polinômio gerador dado por
.
Para resolver, vamos precisar entender um pouquinho sobre códigos cíclicos, operações com polinômios e como aplicar o polinômio gerador para encontrar o vetor código correspondente à nossa mensagem.
Passo 2
Primeiro, vamos representar a mensagem
como um polinômio. Cada bit da mensagem corresponde a um coeficiente do polinômio, começando do grau mais alto. Então, temos:
Passo 3
Em códigos cíclicos, para gerar o vetor código, multiplicamos o polinômio da mensagem
por
, onde
é o comprimento do código (7) e
é a dimensão (4). Assim:
Então, multiplicamos
por
:
Passo 4
Agora, precisamos dividir esse polinômio resultante pelo polinômio gerador
. O objetivo é encontrar o resto dessa divisão, que será o polinômio de correção.
Vamos fazer a divisão polinomial:
Dividend:
Divisor:
Divisor:
Passo 5
Primeiro, dividimos o termo de maior grau do dividendo pelo termo de maior grau do divisor:
Multiplicamos o divisor por
:
Subtraímos esse resultado do dividendo:
Passo 6
Repetimos o processo com o novo dividendo
.
Dividimos
por
:
Multiplicamos o divisor por
:
Subtraímos desse novo dividendo:
Passo 7
Agora, nosso novo dividendo é
. Como o grau de
é menor que o grau do divisor (
), não podemos continuar a divisão. Portanto, o resto é
.
Então, o polinômio de correção é
.
Passo 8
Finalmente, para obter o vetor código, somamos o polinômio corrigido ao polinômio original multiplicado por
:
Agora, representamos esse polinômio como um vetor de bits, preenchendo com zeros onde faltar.
Resposta
O vetor código correspondente à mensagem
é
.