Determine o vetor código de um código cíclico (7,4), para mensagem m=1110, utilizando o polinômio gerador g(x)=1+X+X^3.

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A questão pede para determinarmos o vetor código de um código cíclico de comprimento 7 e dimensão 4, ou seja, um código (7,4). A mensagem que queremos codificar é m = 1110. Para isso, vamos usar o polinômio gerador dado por g(x) = 1 + x + x^3.
Para resolver, vamos precisar entender um pouquinho sobre códigos cíclicos, operações com polinômios e como aplicar o polinômio gerador para encontrar o vetor código correspondente à nossa mensagem.

Passo 2

Primeiro, vamos representar a mensagem m = 1110 como um polinômio. Cada bit da mensagem corresponde a um coeficiente do polinômio, começando do grau mais alto. Então, temos:
m(x) = 1 cdot x^3 + 1 cdot x^2 + 1 cdot x^1 + 0 cdot x^0 = x^3 + x^2 + x

Passo 3

Em códigos cíclicos, para gerar o vetor código, multiplicamos o polinômio da mensagem m(x) por x^n-k, onde n é o comprimento do código (7) e k é a dimensão (4). Assim:
n - k = 7 - 4 = 3
Então, multiplicamos m(x) por x^3:
m(x) cdot x^3 = (x^3 + x^2 + x) cdot x^3 = x^6 + x^5 + x^4

Passo 4

Agora, precisamos dividir esse polinômio resultante pelo polinômio gerador g(x) = 1 + x + x^3. O objetivo é encontrar o resto dessa divisão, que será o polinômio de correção.
Vamos fazer a divisão polinomial:
Dividend: x^6 + x^5 + x^4
Divisor: x^3 + x + 1

Passo 5

Primeiro, dividimos o termo de maior grau do dividendo pelo termo de maior grau do divisor:
x^6x^3 = x^3
Multiplicamos o divisor por x^3:
(x^3 + x + 1) cdot x^3 = x^6 + x^4 + x^3
Subtraímos esse resultado do dividendo:
(x^6 + x^5 + x^4) - (x^6 + x^4 + x^3) = x^5 + x^3

Passo 6

Repetimos o processo com o novo dividendo x^5 + x^3.
Dividimos x^5 por x^3:
x^5x^3 = x^2
Multiplicamos o divisor por x^2:
(x^3 + x + 1) cdot x^2 = x^5 + x^3 + x^2
Subtraímos desse novo dividendo:
(x^5 + x^3) - (x^5 + x^3 + x^2) = x^2

Passo 7

Agora, nosso novo dividendo é x^2. Como o grau de x^2 é menor que o grau do divisor ( x^3), não podemos continuar a divisão. Portanto, o resto é x^2.
Então, o polinômio de correção é r(x) = x^2.

Passo 8

Finalmente, para obter o vetor código, somamos o polinômio corrigido ao polinômio original multiplicado por x^3:
c(x) = m(x) cdot x^3 + r(x) = x^6 + x^5 + x^4 + x^2
Agora, representamos esse polinômio como um vetor de bits, preenchendo com zeros onde faltar.
c(x) = x^6 + x^5 + x^4 + x^2 = 1,1,1,0,1,0,0

Resposta

O vetor código correspondente à mensagem m = 1110 é c = 1110100.

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