Um objeto celeste de massa
encontra-se a mesma distância
de dois objetos fixos de massas iguais
e que se encontram a uma distância
um do outro. O objeto de massa
interage com os de massa
gravitacionalmente apenas. Se o objeto de massa
é solto do repouso, qual sua trajetória? Em que ponto dessa trajetória sua velocidade é máxima e qual é essa velocidade? Que movimento este objeto descreve? Observação: Uma força do tipo
tem energia potencial
, onde
é uma constante.
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um objeto com massa
que está igualmente distante de dois objetos fixos, cada um com massa
, e esses dois objetos estão separados uma distância
um do outro. A interação entre
e cada
é apenas gravitacional. Se soltarmos o objeto
do repouso, queremos descobrir qual será a trajetória dele, em que ponto sua velocidade é máxima, qual é essa velocidade máxima e que tipo de movimento ele vai descrever. Para resolver isso, vamos precisar entender as leis da gravitação de Newton e como elas afetam o movimento de
.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as forças atuando no objeto
. Como
está sendo puxado gravitacionalmente por cada um dos objetos
, teremos duas forças de atração. A força gravitacional entre duas massas é dada pela fórmula:
onde
é a constante gravitacional e
é a distância entre as massas.
Passo 3
Como os dois objetos
estão fixos e a mesma distância
de
, podemos considerar que as forças gravitacionais se equilibram na direção perpendicular à linha que une os dois
. Assim, a força resultante sobre
será direcionada ao longo dessa linha.
Passo 4
Vamos agora pensar na energia do sistema. A energia potencial gravitacional para cada interação é dada por:
Como há duas interações, a energia potencial total será a soma das duas energias potenciais individuais.
Passo 5
A trajetória de
será determinada pela força resultante que ela sente devido aos dois objetos
. Como as forças gravitacionais se somam e a energia potencial total nos ajuda a entender o comportamento do sistema, podemos prever que
irá oscilar entre os dois objetos
, movendo-se ao longo da linha que conecta eles.
Passo 6
Para encontrar onde a velocidade de
é máxima, lembramos que isso ocorre onde a energia potencial é mínima (já que a energia total é conservada). A energia potencial é mínima quando
está exatamente no meio entre os dois
, ou seja, a uma distância
de cada um.
Passo 7
A velocidade máxima de
pode ser encontrada usando a conservação da energia. Inicialmente,
está no repouso, então toda a energia é potencial. Quando
passa pelo ponto onde a velocidade é máxima, parte dessa energia potencial é convertida em energia cinética. Assim, podemos usar:
Resolvendo para
:
Passo 8
Finalmente, o tipo de movimento que
descreve é um movimento periódico, similar a um oscilador harmônico, mas com características específicas devido à natureza da força gravitacional inversamente proporcional ao quadrado da distância.
Resposta
A trajetória do objeto
é uma oscilação ao longo da linha que conecta os dois objetos
. Sua velocidade atinge o máximo quando
passa pelo ponto médio entre os dois
, e essa velocidade máxima é dada por
. O movimento descrito por
é um movimento periódico de oscilação sob a influência de forças gravitacionais.
Exercícios relacionados
Verifique que o seguinte campo vetorial
é irrotacional, isto é, possui
. Encontre um possível campo escalar
de maneira que
Verifique que o seguinte campo
é solenoidal, isto é, possui divergente nulo. Mostre que o campo
pode ser escrito como o rotacional de um campo vetorial do tipo
para algum campo escalar
. Escreva um possível
.
Dada uma família de superfícies do tipo
constante, podemos construir um campo vetorial
que é normal à família de superfícies. A forma mais geral que este campo pode assumir é:
em que
é uma função diferenciável qualquer. Prove que
. Construa um vetor normal (e de módulo unitário) às superfícies do tipo
constante. Note que a coordenada
não possui restrição.
Considere uma colisão unidimensional entre objetos de massa
e
, com
em repouso e
com velocidade inicial não-nula. Encontre as velocidades após a colisão de ambos os objetos. Mostre o que acontece nos casos especiais de massas iguais, alvo pesado e projétil pesado.
Considere a seguinte trajetória:
e os seguintes itens:
(i) Faça um desenho da trajetória (tão bem quanto você conseguir), desenhando os versores cartesianos em, pelo menos, três posições diferentes.
^0 Faça o mesmo para os versores do sistema cilíndrico de coordenadas. Eles são os mesmos em toda a trajetória?
(iii) Escreva o vetor posição da equação acima no sistema cilíndrico de coordenadas. Neste sistema, onde fica a dependência temporal associada aos senos e cossenos da expressão acima?
(iv) Calcule o vetor velocidade nos dois sistemas de de coordenadas: cartesianas e cilíndricas.
(i) Faça um desenho da trajetória (tão bem quanto você conseguir), desenhando os versores cartesianos em, pelo menos, três posições diferentes.
^0 Faça o mesmo para os versores do sistema cilíndrico de coordenadas. Eles são os mesmos em toda a trajetória?
(iii) Escreva o vetor posição da equação acima no sistema cilíndrico de coordenadas. Neste sistema, onde fica a dependência temporal associada aos senos e cossenos da expressão acima?
(iv) Calcule o vetor velocidade nos dois sistemas de de coordenadas: cartesianas e cilíndricas.