Um objeto celeste de massa m encontra-se a mesma distância D de dois objetos fixos de massas iguais M e que se encontram a uma distância a um do outro. O objeto de massa m interage com os de massa M gravitacionalmente apenas. Se o objeto de massa m é solto do repouso, qual sua trajetória? Em que ponto dessa trajetória sua velocidade é máxima e qual é essa velocidade? Que movimento este objeto descreve? Observação: Uma força do tipo F(r)=C / r^2 tem energia potencial U(r)=-(C / r), onde C é uma constante.

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um objeto com massa que está igualmente distante de dois objetos fixos, cada um com massa , e esses dois objetos estão separados uma distância um do outro. A interação entre e cada é apenas gravitacional. Se soltarmos o objeto do repouso, queremos descobrir qual será a trajetória dele, em que ponto sua velocidade é máxima, qual é essa velocidade máxima e que tipo de movimento ele vai descrever. Para resolver isso, vamos precisar entender as leis da gravitação de Newton e como elas afetam o movimento de .

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as forças atuando no objeto F = G M mr^2 . Como está sendo puxado gravitacionalmente por cada um dos objetos , teremos duas forças de atração. A força gravitacional entre duas massas é dada pela fórmula:
onde é a constante gravitacional e é a distância entre as massas.

Passo 3

Como os dois objetos estão fixos e a mesma distância de , podemos considerar que as forças gravitacionais se equilibram na direção perpendicular à linha que une os dois . Assim, a força resultante sobre será direcionada ao longo dessa linha.

Passo 4

Vamos agora pensar na energia do sistema. A energia potencial gravitacional para cada interação é dada por:
U(r) = -G M mr
Como há duas interações, a energia potencial total será a soma das duas energias potenciais individuais.

Passo 5

A trajetória de será determinada pela força resultante que ela sente devido aos dois objetos . Como as forças gravitacionais se somam e a energia potencial total nos ajuda a entender o comportamento do sistema, podemos prever que irá oscilar entre os dois objetos , movendo-se ao longo da linha que conecta eles.

Passo 6

Para encontrar onde a velocidade de é máxima, lembramos que isso ocorre onde a energia potencial é mínima (já que a energia total é conservada). A energia potencial é mínima quando está exatamente no meio entre os dois , ou seja, a uma distância de cada um.

Passo 7

A velocidade máxima de 12 m vmáx^2 = De pode ser encontrada usando a conservação da energia. Inicialmente, vmáx = raiz2 De está no repouso, então toda a energia é potencial. Quando passa pelo ponto onde a velocidade é máxima, parte dessa energia potencial é convertida em energia cinética. Assim, podemos usar:
á
Resolvendo para á:
á

Passo 8

Finalmente, o tipo de movimento que descreve é um movimento periódico, similar a um oscilador harmônico, mas com características específicas devido à natureza da força gravitacional inversamente proporcional ao quadrado da distância.

Resposta

A trajetória do objeto é uma oscilação ao longo da linha que conecta os dois objetos . Sua velocidade atinge o máximo quando passa pelo ponto médio entre os dois , e essa velocidade máxima é dada por á. O movimento descrito por é um movimento periódico de oscilação sob a influência de forças gravitacionais.

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A=nabla phi
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