Verifique que o seguinte campo vetorial
é irrotacional, isto é, possui
. Encontre um possível campo escalar
de maneira que
Verifique que o seguinte campo
é solenoidal, isto é, possui divergente nulo. Mostre que o campo
pode ser escrito como o rotacional de um campo vetorial do tipo
para algum campo escalar
. Escreva um possível
.
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos dois campos vetoriais,
e
. A primeira parte nos solicita verificar se
é irrotacional, ou seja, se seu rotacional é zero (
), e encontrar um campo escalar
tal que
. A segunda parte pede para verificar se
é solenoidal (divergência nula) e expressá-la como o rotacional de um campo vetorial do tipo
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial como rotacional, divergência e gradiente.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se o campo
é irrotacional. Para isso, calculamos o rotacional de
, que é dado por:
Como
não tem componente na direção
, temos
. Assim, o rotacional simplifica para:
Como
e
não dependem de
, as derivadas em relação a
são zero. Portanto:
Passo 3
Agora, vamos calcular
e
.
Dado:
Calculando
:
E:
Calculando
:
Passo 4
Substituindo as derivadas no rotacional:
Portanto, o rotacional de
é zero, o que confirma que o campo é irrotacional.
Passo 5
Como
é irrotacional, podemos encontrar um potencial escalar
tal que
. Isso significa que:
Vamos integrar
em relação a
para encontrar
:
A função
é uma função arbitrária de integração que pode depender de
e
.
Passo 6
Agora, vamos derivar
em relação a
e igualar a
para determinar
:
Sabemos que
, então:
Isso implica que
, ou seja,
não depende de
.
Passo 7
Além disso, como
não depende de
no campo original
, podemos concluir que
também não depende de
. Portanto,
é uma constante, que podemos considerar zero sem perda de generalidade.
Passo 8
Assim, o potencial escalar
é:
Passo 9
Agora, vamos analisar o campo
para verificar se ele é solenoidal, ou seja, se sua divergência é zero. A divergência de
é dada por:
Como
não possui componente na direção
,
e a terceira derivada é zero. Portanto:
Passo 10
Calculando as derivadas:
Dado:
Primeiro, calculamos
:
Em seguida, calculamos
:
Passo 11
Somando as derivadas:
Portanto, a divergência de
é zero, o que confirma que o campo é solenoidal.
Passo 12
Como
é solenoidal, podemos expressá-lo como o rotacional de um campo vetorial. A questão sugere que esse campo vetorial seja do tipo
. Ou seja:
Calculando o rotacional de
:
Então, temos:
Passo 13
Vamos resolver essas equações para encontrar
. A partir de
:
Integrando em relação a
:
A função
é uma função arbitrária de integração.
Passo 14
Agora, usamos a equação para
:
Comparando com o
dado:
Isso implica que
, ou seja,
não depende de
.
Passo 15
Além disso, como
não depende de
no campo original,
também não depende de
. Portanto,
é uma constante, que podemos considerar zero.
Passo 16
Assim, o campo escalar
é:
Resposta
Um campo escalar possível é: