Verifique que o seguinte campo vetorial
A(r)=sin x(y^33-y+y ln y) x-(y^2+ln y) cos x y
é irrotacional, isto é, possui nabla times A=0. Encontre um possível campo escalar phi(x, y, z) de maneira que
A=nabla phi
Verifique que o seguinte campo
V(r)=e^x2(y^2+ln y)(cos x+sin x) x-e^x cos x(y^33-y+y ln y) y
é solenoidal, isto é, possui divergente nulo. Mostre que o campo V(r) pode ser escrito como o rotacional de um campo vetorial do tipo F(r)=psi z para algum campo escalar psi(r). Escreva um possível psi(r).

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos dois campos vetoriais, A(r) e V(r). A primeira parte nos solicita verificar se A é irrotacional, ou seja, se seu rotacional é zero ( nabla times A = 0), e encontrar um campo escalar phi tal que A = nabla phi. A segunda parte pede para verificar se V é solenoidal (divergência nula) e expressá-la como o rotacional de um campo vetorial do tipo F = psi z. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial como rotacional, divergência e gradiente.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se o campo A(r) é irrotacional. Para isso, calculamos o rotacional de A, que é dado por:
nabla times A = ( partial Azpartial y - partial Aypartial z ) x + ( partial Axpartial z - partial Azpartial x ) y + ( partial Aypartial x - partial Axpartial y ) z
Como A não tem componente na direção z, temos Az = 0. Assim, o rotacional simplifica para:
nabla times A = -partial Aypartial z x + partial Axpartial z y + ( partial Aypartial x - partial Axpartial y ) z
Como Ax e Ay não dependem de z, as derivadas em relação a z são zero. Portanto:
nabla times A = ( partial Aypartial x - partial Axpartial y ) z

Passo 3

Agora, vamos calcular partial Aypartial x e partial Axpartial y.
Dado:
Ax = sin x ( y^33 - y + y ln y )
Calculando partial Axpartial y:
partial Axpartial y = sin x ( y^2 - 1 + ln y + 1 ) = sin x ( y^2 + ln y )
E:
Ay = -( y^2 + ln y ) cos x
Calculando partial Aypartial x:
partial Aypartial x = ( y^2 + ln y ) sin x

Passo 4

Substituindo as derivadas no rotacional:
nabla times A = ( ( y^2 + ln y ) sin x - sin x ( y^2 + ln y ) ) z = 0
Portanto, o rotacional de A é zero, o que confirma que o campo é irrotacional.

Passo 5

Como A é irrotacional, podemos encontrar um potencial escalar phi tal que A = nabla phi. Isso significa que:
Ax = partial phipartial x e Ay = partial phipartial y
Vamos integrar Ax em relação a x para encontrar phi:
phi(x, y, z) = integral Ax , dx = integral sin x ( y^33 - y + y ln y ) dx = -cos x ( y^33 - y + y ln y ) + g(y, z)
A função g(y, z) é uma função arbitrária de integração que pode depender de y e z.

Passo 6

Agora, vamos derivar phi em relação a y e igualar a Ay para determinar g(y, z):
partial phipartial y = -cos x ( y^2 - 1 + ln y + 1 ) + partial gpartial y = -cos x ( y^2 + ln y ) + partial gpartial y
Sabemos que Ay = -( y^2 + ln y ) cos x, então:
-( y^2 + ln y ) cos x = -( y^2 + ln y ) cos x + partial gpartial y
Isso implica que partial gpartial y = 0, ou seja, g não depende de y.

Passo 7

Além disso, como phi não depende de z no campo original A, podemos concluir que g também não depende de z. Portanto, g é uma constante, que podemos considerar zero sem perda de generalidade.

Passo 8

Assim, o potencial escalar phi(x, y, z) é:
phi(x, y, z) = -cos x ( y^33 - y + y ln y )

Passo 9

Agora, vamos analisar o campo V(r) para verificar se ele é solenoidal, ou seja, se sua divergência é zero. A divergência de V é dada por:
nabla cdot V = partial Vxpartial x + partial Vypartial y + partial Vzpartial z
Como V não possui componente na direção z, Vz = 0 e a terceira derivada é zero. Portanto:

Passo 10

Calculando as derivadas:
Dado:
Vx = e^x2(y^2+ln y)(cos x+sin x)
Vy = -e^x cos x ( y^33 - y + y ln y )
Primeiro, calculamos partial Vxpartial x:
partial Vxpartial x = e^x2(y^2+ln y)(-sin x + cos x) + e^x2(y^2+ln y)(cos x+sin x) = e^x(y^2+ln y)cos x
Em seguida, calculamos partial Vypartial y:
partial Vypartial y = -e^x cos x ( y^2 - 1 + ln y + 1 ) = -e^x cos x ( y^2 + ln y )

Passo 11

Somando as derivadas:
nabla cdot V = e^x(y^2+ln y)cos x - e^x cos x ( y^2 + ln y ) = 0
Portanto, a divergência de V é zero, o que confirma que o campo é solenoidal.

Passo 12

Como V é solenoidal, podemos expressá-lo como o rotacional de um campo vetorial. A questão sugere que esse campo vetorial seja do tipo F(r) = psi z. Ou seja:
V = nabla times F = nabla times (psi z)
Calculando o rotacional de F:
nabla times (psi z) = ( partial psipartial y ) x - ( partial psipartial x ) y
Então, temos:
Vx = partial psipartial y e Vy = -partial psipartial x

Passo 13

Vamos resolver essas equações para encontrar psi. A partir de Vx:
partial psipartial y = e^x2(y^2+ln y)(cos x+sin x)
Integrando em relação a y:
psi(x, y, z) = e^x2 ( y^33 + y ln y - y )(cos x + sin x) + h(x, z)
A função h(x, z) é uma função arbitrária de integração.

Passo 14

Agora, usamos a equação para Vy:
Vy = -partial psipartial x = -partialpartial x [ e^x2 ( y^33 + y ln y - y )(cos x + sin x) ] - partial hpartial x
Comparando com o Vy dado:
-e^x cos x ( y^33 - y + y ln y ) = -partial psipartial x
Isso implica que partial hpartial x = 0, ou seja, h não depende de x.

Passo 15

Além disso, como psi não depende de z no campo original, h também não depende de z. Portanto, h é uma constante, que podemos considerar zero.

Passo 16

Assim, o campo escalar psi(x, y, z) é:
psi(x, y, z) = e^x2 ( y^33 + y ln y - y )(cos x + sin x)

Resposta

Um campo escalar possível é:
psi(x, y, z) = e^x2 ( y^33 + y ln y - y )(cos x + sin x)

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