Considere as componentes de velocidade em um escoamento bidimensional: u=y^3 / 3+2 x- x^2 y e v=x y^2-2 y-x^3 / 3. Essas componentes representam um escoamento irrotacional?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema que você trouxe fala sobre um escoamento bidimensional com duas componentes de velocidade: $ u = \frac{y^{3}}{3} + 2x - x^{2}y $ e $ v = xy^{2} - 2y - \frac{x^{3}}{3} $. A pergunta é: essas componentes representam um escoamento irrotacional?
Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa um escoamento ser irrotacional. Basicamente, em um escoamento irrotacional, não há rotação nas partículas do fluido. Matematicamente, isso significa que o “rotacional” (ou “vorticidade”) do campo de velocidade é zero. Vamos descobrir se isso acontece aqui!

Passo 2

Primeiro, vamos recordar como calcular a vorticidade em um escoamento bidimensional. A vorticidade $ \omega $ é dada pela diferença entre a derivada parcial de $ v $ em relação a $ x $ e a derivada parcial de $ u $ em relação a $ y $:
omega
Se $ \omega = 0 $, o escoamento é irrotacional. Vamos calcular essas derivadas!

Passo 3

Vamos calcular $ \frac{\partial v}{\partial x} $:
Dada $ v = xy^{2} - 2y - \frac{x^{3}}{3} $, derivando em relação a $ x $:
partial vpartial x

Passo 4

Agora, vamos calcular $ \frac{\partial u}{\partial y} $:
Dada $ u = \frac{y^{3}}{3} + 2x - x^{2}y $, derivando em relação a $ y $:
partial upartial y

Passo 5

Agora, vamos encontrar a vorticidade $ \omega $:
omega

Resposta

Como a vorticidade $ \omega $ é igual a zero, as componentes de velocidade fornecidas representam um escoamento irrotacional.

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