Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a expressão para a temperatura em uma barra de 40 cm de comprimento, onde as extremidades estão sempre a . A distribuição inicial de temperatura é 0°C nos primeiros 10 cm, 50°C entre 10 cm e 30 cm, e de volta a 0°C dos 30 cm aos 40 cm. Para isso, vamos usar a equação da condução de calor e alguns conceitos de séries de Fourier.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a equação da condução de calor unidimensional:
partial upartial t = alpha^2 partial^2 upartial x^2
Você mencionou que partial upartial t = partial^2 upartial x^2 , então a equação fica:
As condições de contorno são e para todo . A condição inicial é a distribuição de temperatura dada no enunciado.
Passo 3
Para resolver essa equação com essas condições, vamos usar a separação de variáveis e expandir a solução em uma série de Fourier. A solução geral pode ser escrita como:
u(x, t) = sumn=1^infty Bn sin(npi x40) e^-(npi40)^2 t
Aqui, são os coeficientes que precisamos encontrar com base na condição inicial.
Passo 4
Agora, vamos encontrar os coeficientes u(x, 0) = 0 & se 0 <= x <= 10 50 & se 10 <= x <= 30 0 & se 30 < x <= 40 . A condição inicial é:
Bn = 240 integral0^40 u(x, 0) sin(npi x40) dx
Para encontrar Bn = 240 times 50 integral10^30 sin(npi x40) dx , usamos a fórmula dos coeficientes de Fourier para funções de onda ímpar (já que as condições de contorno são zeros):
= -40npi [ cos(npi times 3040) - cos(npi times 1040) ]
Simplificando:
= 40npi [ cos(npi4) - cos(3npi4) ]
Agora, substituindo de volta em Bn = 2 times 5040 times 40npi [ cos(npi4) - cos(3npi4) ] = 100npi [ cos(npi4) - cos(3npi4) ] :
Passo 6
Finalmente, substituímos u(x, t) = sumn=1^infty ( 100npi [ cos(npi4) - cos(3npi4) ] ) sin(npi x40) e^-(npi40)^2 t de volta na série de Fourier para obter a expressão completa para :
Resposta
A expressão para a temperatura u(x, t) = sumn=1^infty ( 100npi [ cos(npi4) - cos(3npi4) ] ) sin(npi x40) e^-(npi40)^2 t na barra é: