Considere a condução de calor em uma barra com 40 cm de comprimento cujas extremidades são mantidas à temperatura 0^circ para todo t>0. Em cada um dos problemas de 9 a 12, encontre uma expressão para a temperatura u(x, t) quando a distribuição de temperatura inicial na barra for igual à função dada. Suponha que alpha^2=1.
© u(x, 0)=l0, se, 0 <= x <= 10 50, se, 10 <= x <= 30 0, se, 30.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a expressão para a temperatura em uma barra de 40 cm de comprimento, onde as extremidades estão sempre a . A distribuição inicial de temperatura é 0°C nos primeiros 10 cm, 50°C entre 10 cm e 30 cm, e de volta a 0°C dos 30 cm aos 40 cm. Para isso, vamos usar a equação da condução de calor e alguns conceitos de séries de Fourier.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a equação da condução de calor unidimensional:
partial upartial t = alpha^2 partial^2 upartial x^2
Você mencionou que partial upartial t = partial^2 upartial x^2 , então a equação fica:
As condições de contorno são e para todo . A condição inicial é a distribuição de temperatura dada no enunciado.

Passo 3

Para resolver essa equação com essas condições, vamos usar a separação de variáveis e expandir a solução em uma série de Fourier. A solução geral pode ser escrita como:
u(x, t) = sumn=1^infty Bn sin(npi x40) e^-(npi40)^2 t
Aqui, são os coeficientes que precisamos encontrar com base na condição inicial.

Passo 4

Agora, vamos encontrar os coeficientes u(x, 0) = 0 & se 0 <= x <= 10 50 & se 10 <= x <= 30 0 & se 30 < x <= 40 . A condição inicial é:
Bn = 240 integral0^40 u(x, 0) sin(npi x40) dx
Para encontrar Bn = 240 times 50 integral10^30 sin(npi x40) dx , usamos a fórmula dos coeficientes de Fourier para funções de onda ímpar (já que as condições de contorno são zeros):
Como apenas entre 10 cm e 30 cm, a integral fica:

Passo 5

Vamos calcular a integral:
integral10^30 sin(npi x40) dx = [ -40npi cos(npi x40) ]10^30
Substituindo os limites:
= -40npi [ cos(npi times 3040) - cos(npi times 1040) ]
Simplificando:
= 40npi [ cos(npi4) - cos(3npi4) ]
Agora, substituindo de volta em Bn = 2 times 5040 times 40npi [ cos(npi4) - cos(3npi4) ] = 100npi [ cos(npi4) - cos(3npi4) ] :

Passo 6

Finalmente, substituímos u(x, t) = sumn=1^infty ( 100npi [ cos(npi4) - cos(3npi4) ] ) sin(npi x40) e^-(npi40)^2 t de volta na série de Fourier para obter a expressão completa para :

Resposta

A expressão para a temperatura u(x, t) = sumn=1^infty ( 100npi [ cos(npi4) - cos(3npi4) ] ) sin(npi x40) e^-(npi40)^2 t na barra é:

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