Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a expressão para a temperatura em uma barra de 40 cm de comprimento, onde as extremidades estão sempre a . A distribuição inicial de temperatura é 0°C nos primeiros 10 cm, 50°C entre 10 cm e 30 cm, e de volta a 0°C dos 30 cm aos 40 cm. Para isso, vamos usar a equação da condução de calor e alguns conceitos de séries de Fourier.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a equação da condução de calor unidimensional:
Você mencionou que , então a equação fica:
As condições de contorno são e para todo . A condição inicial é a distribuição de temperatura dada no enunciado.
Passo 3
Para resolver essa equação com essas condições, vamos usar a separação de variáveis e expandir a solução em uma série de Fourier. A solução geral pode ser escrita como:
Aqui, são os coeficientes que precisamos encontrar com base na condição inicial.
Passo 4
Agora, vamos encontrar os coeficientes . A condição inicial é:
Para encontrar , usamos a fórmula dos coeficientes de Fourier para funções de onda ímpar (já que as condições de contorno são zeros):
Como apenas entre 10 cm e 30 cm, a integral fica:
Passo 5
Vamos calcular a integral:
Substituindo os limites:
Simplificando:
Agora, substituindo de volta em :
Passo 6
Finalmente, substituímos de volta na série de Fourier para obter a expressão completa para :