Considere a condução de calor em uma barra com 40 cm de comprimento cujas extremidades são mantidas à temperatura para todo . Em cada um dos problemas de 9 a 12, encontre uma expressão para a temperatura quando a distribuição de temperatura inicial na barra for igual à função dada. Suponha que .
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Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a expressão para a temperatura em uma barra de 40 cm de comprimento, onde as extremidades estão sempre a . A distribuição inicial de temperatura é 0°C nos primeiros 10 cm, 50°C entre 10 cm e 30 cm, e de volta a 0°C dos 30 cm aos 40 cm. Para isso, vamos usar a equação da condução de calor e alguns conceitos de séries de Fourier.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a equação da condução de calor unidimensional:
Você mencionou que , então a equação fica:
As condições de contorno são e para todo . A condição inicial é a distribuição de temperatura dada no enunciado.

Passo 3

Para resolver essa equação com essas condições, vamos usar a separação de variáveis e expandir a solução em uma série de Fourier. A solução geral pode ser escrita como:
Aqui, são os coeficientes que precisamos encontrar com base na condição inicial.

Passo 4

Agora, vamos encontrar os coeficientes . A condição inicial é:
Para encontrar , usamos a fórmula dos coeficientes de Fourier para funções de onda ímpar (já que as condições de contorno são zeros):
Como apenas entre 10 cm e 30 cm, a integral fica:

Passo 5

Vamos calcular a integral:
Substituindo os limites:
Simplificando:
Agora, substituindo de volta em :

Passo 6

Finalmente, substituímos de volta na série de Fourier para obter a expressão completa para :

Resposta

A expressão para a temperatura na barra é:

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Determine as derivadas parciais de ordem das seguintes funções:
Em cada um dos problemas a seguir, diga se as funções dadas são pares ou ímpares.
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Determine em a) e b) e e em c) e d) utilizando a regra da cadeia:
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