Determine em a) e b) e e em c) e d) utilizando a regra da cadeia:
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me pediu para calcular as derivadas de uma função usando a regra da cadeia. O enunciado é o seguinte:
Temos a função , onde:
Vamos precisar usar conceitos de derivadas parciais e a regra da cadeia para encontrar e as derivadas parciais e nos diferentes casos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é a regra da cadeia. Ela nos ajuda a derivar funções compostas, ou seja, funções que dependem de outras funções. No nosso caso, depende de , e , que por sua vez dependem de .
Passo 3
Vamos calcular . Para isso, aplicamos a regra da cadeia:
Passo 4
Agora, vamos encontrar as derivadas parciais de em relação a , e :
Passo 5
Vamos calcular também as derivadas de , e em relação a :
Passo 6
Substituindo tudo na fórmula da regra da cadeia:
Passo 7
Agora, vamos substituir , e pelas suas expressões em termos de :
Assim,
Passo 8
Vamos simplificar o denominador . Sabemos que , então:
Multiplicando tudo por :
Isso fica complicado, então vamos reconhecer que:
Portanto,
Então, o denominador simplifica para . Como é positivo para os valores de onde a função está definida, podemos escrever simplesmente .