Determine
em a) e b) e
e
em c) e d) utilizando a regra da cadeia:
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me pediu para calcular as derivadas de uma função usando a regra da cadeia. O enunciado é o seguinte:
Temos a função
, onde:
Vamos precisar usar conceitos de derivadas parciais e a regra da cadeia para encontrar
e as derivadas parciais
e
nos diferentes casos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é a regra da cadeia. Ela nos ajuda a derivar funções compostas, ou seja, funções que dependem de outras funções. No nosso caso,
depende de
,
e
, que por sua vez dependem de
.
Passo 3
Vamos calcular
. Para isso, aplicamos a regra da cadeia:
Passo 4
Agora, vamos encontrar as derivadas parciais de
em relação a
,
e
:
Passo 5
Vamos calcular também as derivadas de
,
e
em relação a
:
Passo 6
Substituindo tudo na fórmula da regra da cadeia:
Passo 7
Agora, vamos substituir
,
e
pelas suas expressões em termos de
:
Assim,
Passo 8
Vamos simplificar o denominador
. Sabemos que
, então:
Multiplicando tudo por
:
Isso fica complicado, então vamos reconhecer que:
Portanto,
Então, o denominador simplifica para
. Como
é positivo para os valores de
onde a função está definida, podemos escrever simplesmente
.
Passo 9
Substituindo de volta:
Simplificando cada termo:
Passo 10
Agora, somando todos os termos:
Perceba que os últimos dois termos se cancelam:
Então, sobra:
Resposta
A derivada de
em relação a
é: