Determine em a) e b) e e em c) e d) utilizando a regra da cadeia:

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me pediu para calcular as derivadas de uma função usando a regra da cadeia. O enunciado é o seguinte:
Temos a função , onde:
Vamos precisar usar conceitos de derivadas parciais e a regra da cadeia para encontrar e as derivadas parciais e nos diferentes casos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a regra da cadeia. Ela nos ajuda a derivar funções compostas, ou seja, funções que dependem de outras funções. No nosso caso, depende de , e , que por sua vez dependem de .

Passo 3

Vamos calcular . Para isso, aplicamos a regra da cadeia:

Passo 4

Agora, vamos encontrar as derivadas parciais de em relação a , e :

Passo 5

Vamos calcular também as derivadas de , e em relação a :

Passo 6

Substituindo tudo na fórmula da regra da cadeia:

Passo 7

Agora, vamos substituir , e pelas suas expressões em termos de :
Assim,

Passo 8

Vamos simplificar o denominador . Sabemos que , então:
Multiplicando tudo por :
Isso fica complicado, então vamos reconhecer que:
Portanto,
Então, o denominador simplifica para . Como é positivo para os valores de onde a função está definida, podemos escrever simplesmente .

Passo 9

Substituindo de volta:
Simplificando cada termo:

Passo 10

Agora, somando todos os termos:
Perceba que os últimos dois termos se cancelam:
Então, sobra:

Resposta

A derivada de em relação a é:

Exercícios relacionados

Determine em a) e b) e e em c) e d) utilizando a regra da cadeia:
Considere a condução de calor em uma barra com 40 cm de comprimento cujas extremidades são mantidas à temperatura para todo . Em cada um dos problemas de 9 a 12, encontre uma expressão para a temperatura quando a distribuição de temperatura inicial na barra for igual à função dada. Suponha que .
© .
Encontre a série de Fourrier da função dada.
(a) .
Determine a equação do plano tangente à superfície no ponto