Determine d fd t em a) e b) e partial fpartial s e partial fpartial t em c) e d) utilizando a regra da cadeia: f(x, y, z)=raizx^2+y^2+z^2 ; x=tg t, y=cos t ; z=sen t

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me pediu para calcular as derivadas de uma função usando a regra da cadeia. O enunciado é o seguinte:
Temos a função , onde:
Vamos precisar usar conceitos de derivadas parciais e a regra da cadeia para encontrar e as derivadas parciais e nos diferentes casos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a regra da cadeia. Ela nos ajuda a derivar funções compostas, ou seja, funções que dependem de outras funções. No nosso caso, depende de , e , que por sua vez dependem de .

Passo 3

Vamos calcular d fd t = partial fpartial x cdot d xd t + partial fpartial y cdot d yd t + partial fpartial z cdot d zd t . Para isso, aplicamos a regra da cadeia:

Passo 4

Agora, vamos encontrar as derivadas parciais de partial fpartial x = xraizx^2 + y^2 + z^2 em relação a partial fpartial y = yraizx^2 + y^2 + z^2 , partial fpartial z = zraizx^2 + y^2 + z^2 e :

Passo 5

Vamos calcular também as derivadas de d xd t = dd t (tan t) = sec^2 t , d yd t = dd t (cos t) = -sin t e d zd t = dd t (sin t) = cos t em relação a :

Passo 6

Substituindo tudo na fórmula da regra da cadeia:
d fd t = xraizx^2 + y^2 + z^2 cdot sec^2 t + yraizx^2 + y^2 + z^2 cdot (-sin t) + zraizx^2 + y^2 + z^2 cdot cos t

Passo 7

Agora, vamos substituir x = tan t, y = cos t, z = sin t , d fd t = tan traiztan^2 t + cos^2 t + sin^2 t cdot sec^2 t + cos traiztan^2 t + cos^2 t + sin^2 t cdot (-sin t) + sin traiztan^2 t + cos^2 t + sin^2 t cdot cos t e pelas suas expressões em termos de :
Assim,

Passo 8

Vamos simplificar o denominador tan^2 t + cos^2 t + sin^2 t = sin^2 tcos^2 t + cos^2 t + sin^2 t . Sabemos que = sin^2 t + cos^4 t + sin^2 t cos^2 tcos^2 t , então:
cos^2 t + sin^2 t = 1
Multiplicando tudo por tan^2 t + cos^2 t + sin^2 t = tan^2 t + 1 = sec^2 t :
Isso fica complicado, então vamos reconhecer que:
Portanto,
Então, o denominador simplifica para . Como é positivo para os valores de onde a função está definida, podemos escrever simplesmente .

Passo 9

Substituindo de volta:
d fd t = tan tsec t cdot sec^2 t + cos tsec t cdot (-sin t) + sin tsec t cdot cos t
Simplificando cada termo:
tan tsec t cdot sec^2 t = tan t cdot sec t
cos tsec t cdot (-sin t) = cos t cdot cos t cdot (-sin t) = -cos^2 t sin t
sin tsec t cdot cos t = sin t cdot cos t cdot cos t = sin t cos^2 t

Passo 10

Agora, somando todos os termos:
d fd t = tan t cdot sec t - cos^2 t sin t + sin t cos^2 t
Perceba que os últimos dois termos se cancelam:
-cos^2 t sin t + sin t cos^2 t = 0
Então, sobra:
d fd t = tan t cdot sec t

Resposta

A derivada de d fd t = tan t cdot sec t em relação a é:

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