Determine d fd t em a) e b) e partial fpartial s e partial fpartial t em c) e d) utilizando a regra da cadeia: f(x, y, z)=x e^yz ; x=t^2, y=1-t, z=1+2 t

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as derivadas de em relação a e também as derivadas parciais de em relação a e . A função que a gente tem é , onde , e . Para resolver isso, vamos usar a Regra da Cadeia, que é super útil para derivar funções compostas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a Regra da Cadeia. Ela nos ajuda a calcular a derivada de uma função que depende de várias variáveis, que por sua vez dependem de outra variável, no caso, dfdt = partial fpartial x dxdt + partial fpartial y dydt + partial fpartial z dzdt . A fórmula geral para quando depende de que dependem de é:

Passo 3

Vamos calcular cada uma das derivadas parciais de partial fpartial x = e^yz :
  1. Derivada parcial de partial fpartial y = x e^yz cdot 1z em relação a partial fpartial z = x e^yz cdot (-yz^2) = -x e^yz cdot yz^2 :
  1. Derivada parcial de em relação a :
  1. Derivada parcial de em relação a :

Passo 4

Agora, vamos calcular as derivadas de dxdt = 2t em relação a dydt = -1 :
  1. Derivada de dzdt = 2 em relação a :
  1. Derivada de em relação a :
  1. Derivada de em relação a :

Passo 5

Agora, substituímos tudo na fórmula da Regra da Cadeia:
dfdt = e^yz cdot 2t + x e^yz cdot 1z cdot (-1) + (-x e^yz cdot yz^2) cdot 2
Vamos simplificar:
dfdt = 2t e^yz - x e^yzz - 2xy e^yzz^2
Substituindo dfdt = 2t e^1 - t1 + 2t - t^2 e^1 - t1 + 2t1 + 2t - 2t^2(1 - t) e^1 - t1 + 2t(1 + 2t)^2 , e :

Resposta

A derivada de dfdt = 2t e^1 - t1 + 2t - t^2 e^1 - t1 + 2t1 + 2t - 2t^2(1 - t) e^1 - t1 + 2t(1 + 2t)^2 em relação a é:

Exercícios relacionados