Determine
em a) e b) e
e
em c) e d) utilizando a regra da cadeia:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as derivadas de
em relação a
e também as derivadas parciais de
em relação a
e
. A função que a gente tem é
, onde
,
e
. Para resolver isso, vamos usar a Regra da Cadeia, que é super útil para derivar funções compostas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a Regra da Cadeia. Ela nos ajuda a calcular a derivada de uma função que depende de várias variáveis, que por sua vez dependem de outra variável, no caso,
. A fórmula geral para
quando
depende de
que dependem de
é:
Passo 3
Vamos calcular cada uma das derivadas parciais de
:
- Derivada parcial de
em relação a :
- Derivada parcial de
em relação a :
- Derivada parcial de
em relação a :
Passo 4
Agora, vamos calcular as derivadas de
em relação a
:
- Derivada de
em relação a :
- Derivada de
em relação a :
- Derivada de
em relação a :
Passo 5
Agora, substituímos tudo na fórmula da Regra da Cadeia:
Vamos simplificar:
Substituindo
,
e
:
Resposta
A derivada de
em relação a
é: