Determine em a) e b) e e em c) e d) utilizando a regra da cadeia:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as derivadas de em relação a e também as derivadas parciais de em relação a e . A função que a gente tem é , onde , e . Para resolver isso, vamos usar a Regra da Cadeia, que é super útil para derivar funções compostas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a Regra da Cadeia. Ela nos ajuda a calcular a derivada de uma função que depende de várias variáveis, que por sua vez dependem de outra variável, no caso, . A fórmula geral para quando depende de que dependem de é:

Passo 3

Vamos calcular cada uma das derivadas parciais de :
  1. Derivada parcial de em relação a :
  1. Derivada parcial de em relação a :
  1. Derivada parcial de em relação a :

Passo 4

Agora, vamos calcular as derivadas de em relação a :
  1. Derivada de em relação a :
  1. Derivada de em relação a :
  1. Derivada de em relação a :

Passo 5

Agora, substituímos tudo na fórmula da Regra da Cadeia:
Vamos simplificar:
Substituindo , e :

Resposta

A derivada de em relação a é:

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Considere a condução de calor em uma barra com 40 cm de comprimento cujas extremidades são mantidas à temperatura para todo . Em cada um dos problemas de 9 a 12, encontre uma expressão para a temperatura quando a distribuição de temperatura inicial na barra for igual à função dada. Suponha que .
© .
Determine as derivadas parciais de ordem das seguintes funções:
Determine em a) e b) e e em c) e d) utilizando a regra da cadeia:
Encontre a série de Fourrier da função dada.
(a) .